Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2008 жыл

Табандары $AD$ және $BC$ болатын, теңбүйірлі $ABCD$ трапециясы берілсін. Оның $AC$ және $BD$ диагоналдары $M$ нүктесінде қиылысады. $AX=AM$, $BY=BM$ болатындай, $AB$ кесіндісінде $X$ және $Y$ нүктелері табылды. $Z$ нүктесі $XY$ кесіндісінің ортасы, ал $XD$ және $YC$ кесінділерінің қиылысуы $N$ нүктесі арқылы белгіленсін. $ZN$ түзуі трапецияның табандарына параллель екенін дәлелдеңіз. ( А. Акопян, А. Мякишев )

Комментарий/решение

Пусть $Z^*$ - такая точка на стороне $AB$, что $Z^*N$ параллельна основаниям трапеции. Из подобия треугольников $YNZ^*$ и $YCB$, зная что $BY=BM$, получим что $$\frac{YZ^*}{Z^*N}=\frac{BY}{BC}=\frac{MB}{BC}.$$ Аналогичными соображениями получим, что $$\frac{XZ^*}{Z^*N}=\frac{AX}{AD}=\frac{AM}{AD}.$$ Заметим, что $\frac{MB}{BC}=\frac{AM}{AD}$, поскольку равнобедренные треугольники $MBC$ и $MDA$ также подобны. Таким образом, имеем что $\frac{XZ^*}{Z^*N}=\frac{YZ^*}{Z^*N}$, отсюда $XZ^*=YZ^*$, то есть точка $Z^*$ совпадает с точкой $Z$, серединой отрезка $XY$.