Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2004 год

Даны непересекающиеся конечные множества натуральных чисел $A$ и $B$, состоящие из $n$ и $m$ элементов соответственно. Известно, что каждое натуральное число, принадлежащее $A$ или $B$, удовлетворяет хотя бы одному из условий $k+17 \in A$, $k-31 \in B$. Докажите, что $17n=31m$. ( C.Gonciulea )