48-я Международная Математическая OлимпиадаВьетнам, Ханой, 2007 год

Биссектриса угла $BCA$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около этого треугольника окружность вторично в точке $R$ и пересекает серединные перпендикуляры к сторонам $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точки $K$ и $L$ — середины отрезков $BC$ и $AC$ соответственно. Докажите, что площади треугольников $RPK$ и $RQL$ равны.

Комментарий/решение

$\angle ARQ = \angle ABC = \angle ABP + \angle PBC = \angle ABP + \angle RBA = \angle RBP$, и еще $\angle RPB = \angle RQA = C$, тогда $\triangle RBP = \triangle ARQ$, откуда $RP = AQ, RQ= BP$. Заметим что $AQL \sim BPK$, откуда $\frac{PK}{QL} = \frac{BP}{AQ}$, по быстрому счету углов находим что $\angle RPK = RQL = 90 + \frac{1}{2}C$, тогда $\frac {S(RPK)}{S(RQL} = \frac {RP \cdot PK}{RQ \cdot QL} = \frac{AQ}{BP}\cdot \frac{BP}{AQ} = 1$