48-я Международная Математическая Oлимпиада
Вьетнам, Ханой, 2007 год

Задача №1.  Даны действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$. Для каждого $i$ ($1\le i\le n$) положим $${{d}_{i}}=\max \{{{a}_{j}}\mid 1\le j\le i\}-\min \{{{a}_{j}}\mid i\le j\le n\}. $$ Пусть $d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}$
а) Докажите, что для любых действительных чисел ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ справедливо неравенство $$\max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}.\quad \quad (1)$$
б) Покажите, что существуют такие действительные числа ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ что неравенство (1) обращается в равенство.
комментарий/решение

---

Задача №2. Даны пять точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ такие, что $ABCD$ — параллелограмм, а около четырехугольника $BCED$ можно описать окружность. Прямая $l$ проходит через точку $A$, пересекает отрезок $DC$ в его внутренней точке $F$, а прямую $BC$ в точке $G$. Предположим, что $EF=EG=EC$. Докажите, что прямая $l$ является биссектрисой угла $DAB$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Среди участников математического соревнования некоторые дружат между собой; если $A$ дружит с $B$, то и $B$ дружит с $A$. Назовём группу участников кликой, если каждые двое из них дружат. (В частности, любая группа, состоящая менее чем из двух человек, является кликой.) Назовем количество человек в клике ее размером. Известно, что наибольший размер клики, состоящей из участников соревнования, является четным числом. Докажите, что всех участников можно рассадить в две комнаты так, чтобы наибольший из размеров клик, находящихся в одной комнате, был равен наибольшему из размеров клик, находящихся в другой комнате.
комментарий/решение

---

Задача №4. Биссектриса угла $BCA$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около этого треугольника окружность вторично в точке $R$ и пересекает серединные перпендикуляры к сторонам $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точки $K$ и $L$ — середины отрезков $BC$ и $AC$ соответственно. Докажите, что площади треугольников $RPK$ и $RQL$ равны.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Положительные целые числа $a$ и $b$ таковы, что число ${{( 4{{a}^{2}}-1 )}^{2}}$ делится на число $4ab-1$. Докажите, что $a=b$.
комментарий/решение(5)

---

Задача №6.  Пусть $n$ — целое положительное число. Рассмотрим множество $S=\left\{ (x,y,z)\mid x,y,z\in \{0,1,\ldots ,n\},x+y+z > 0 \right\}$, состоящее из ${{\left( n+1 \right)}^{3}}-1$ точек трехмерного пространства. Найдите наименьшее возможное количество плоскостей, объединение которых содержит все точки множества $S,$ но не содержит точку $\left( 0,0,0 \right)$.
комментарий/решение

---