Математикадан 48-ші халықаралық олимпиада, 2007 жыл, Ханой

$ABCD$ параллелограмм болатындай және $BCED$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызылатындай $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ бес нүктесі берілген. $l$ түзуі $A$ нүктесі арқылы өтеді, $DC$ кесіндісін $F$ ішкі нүктесінде қияды, ал $BC$ кесіндісін $G$ нүктесінде қияды. $EF=EG=EC$ болсын делік. $l$ түзуінің $DAB$ бұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $ABCD$ - параллелограмм и $G \in BC$ такая что $BA=BG$ и $F \in CD \cap AG$ так же пусть $E$ точка пересечения серединных перпендикуляров $TE,NE$ для отрезков $CG,CF$ то есть $EG=EG=EC$ и $AG$ биссектриса $\angle DAB$ покажем что $BCED$ вписанный.

Доказательство: из условия следует $CG=CF$ тогда и $EN=ET$ и $FG \perp CE$ пусть $\omega$ окружность с центром в $B$ и $R=BA$ и пусть $M \in AD \cap \omega$ и $FNHE$ вписанный т.к $\angle FNE = \angle FHE = 90^{\circ}$ если $\angle CNH = a$ тогда $\angle CEF = a$ тогда $\angle GEC = a$ значит $\angle EGH = 90^{\circ} - a$ откуда $\angle CGF = \dfrac{a}{2}$ тогда $\angle MAG = \angle BAG = \dfrac{a}{2}$ тогда $\angle ABM = 180^{\circ}-2a$ то есть $G,E,M$ лежат на одной прямой, тогда $\angle GBM = 180^{\circ}-a-(180^{\circ}-2a) = a$ и так как $CD || AB$ получается $\angle BAM = a = \angle CDM = \angle CBM = \angle GEC$ то есть $BCEDM$ вписанный.