Математикадан 48-ші халықаралық олимпиада, 2007 жыл, Ханой

${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ нақты сандары берілген. Әрбір $i$ ($1\le i\le n$) үшін $${{d}_{i}}=\max \{{{a}_{j}}\mid 1\le j\le i\}-\min \{{{a}_{j}}\mid i\le j\le n\}$$ қоямыз. $d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}$ болсын.
а) Әрбір ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ нақты сандары үшін $$\max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}. \qquad (1)$$ теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеңіздер.
б) (1) теңсіздігінің теңдік жағдайы орындалатындай ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ сандарының табылатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

а) Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано