48-я Международная Математическая Oлимпиада
Вьетнам, Ханой, 2007 год
Даны действительные числа a1, a2, …, an. Для каждого i (1≤i≤n) положим
di=max
Пусть d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}
а) Докажите, что для любых действительных чисел {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}} справедливо неравенство \max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}.\quad \quad (1)
б) Покажите, что существуют такие действительные числа {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}} что неравенство (1) обращается в равенство.
посмотреть в олимпиаде
а) Докажите, что для любых действительных чисел {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}} справедливо неравенство \max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}.\quad \quad (1)
б) Покажите, что существуют такие действительные числа {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}} что неравенство (1) обращается в равенство.
Комментарий/решение:
а) Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.