Processing math: 54%

48-я Международная Математическая Oлимпиада
Вьетнам, Ханой, 2007 год


Даны действительные числа a1, a2, , an. Для каждого i (1in) положим di=max Пусть d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}
а) Докажите, что для любых действительных чисел {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}} справедливо неравенство \max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}.\quad \quad (1)
б) Покажите, что существуют такие действительные числа {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}} что неравенство (1) обращается в равенство.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2 месяца 24 дней назад #

а) Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано