48-я Международная Математическая OлимпиадаВьетнам, Ханой, 2007 год

Даны действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$. Для каждого $i$ ($1\le i\le n$) положим $${{d}_{i}}=\max \{{{a}_{j}}\mid 1\le j\le i\}-\min \{{{a}_{j}}\mid i\le j\le n\}.$$ Пусть $d=\max \{{{d}_{i}}\mid 1\le i\le n\}$
а) Докажите, что для любых действительных чисел ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ справедливо неравенство $$\max \{|{{x}_{i}}-{{a}_{i}}|\mid 1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}.\quad \quad (1)$$
б) Покажите, что существуют такие действительные числа ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le \ldots \le {{x}_{n}}$ что неравенство (1) обращается в равенство.

Комментарий/решение

а) Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано