Математикадан 48-ші халықаралық олимпиада, 2007 жыл, Ханой

${{\left( 4{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}$ саны ($4ab-1$) санына бөлінетіндей $a$ және $b$ оң бүтін сандары берілген. $a=b$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

..................

Тут в казахской версии $a,b$ должно быть "оң бүтін". Иначе существуют бесконечно много целых пар $(a,b)$ для которых $a\neq b$.

пусть $a \ne b$

$(4a^2-1)^2$ делится на число $4ab-1$

$(2a-1)^2(2a+1)^2$ делится на число $4ab-1$

$(2a-1;2a+1)=1$

$(2a-1;4ab-1)=p$ тогда

$(4a-2)b+2b-1$ должно делиться на $p$

тогда $2b-1$ делиться на $p$

$(2a-1)(2b-1)=4ab+1-2a-2b$ должно делиться на $p$

$-2a-2-2b$ делиться на $p$ тогда $2a+2+2b$ делиться на $p$ тогда $2a-1+2b-1+4$ делиться на $p$ откуда $p=2$ что невозможно

тогда они взаимно просты откуда следует что $(2a+1)^2$ делится на $4ab-1$ легко заметить что $a>b$ тогда $a=b+k$

$4a^2+4a+1$ делиться на $4a(a-k)-1=4a^2-4ak-1$ тогда

$8a^2+4a-4ak=4a(2a+1-k)$ делиться на $4a^2-4ak-1$ Заметим $(4a;4a^2-4ak-1)=1$

Тогда $2a+1-k ? 4a^2-4ak-1$ $\Rightarrow$$2a+2+4ak ? 4a^2+k$ $\Rightarrow$$2+\dfrac{2-k}{a}+4k-4a ? 0$ Но $4a\geq 4k+4>4k+2$ и при $k\geq 2$ будет то что левое меньше чем правое но это невозможно т.к. левое делится на правое тогда $k=1$

$(2a+1)^2$ делится на $4a(a-1)-1$ что невозможно т.к.

$4a^2+4a+1-(4a^2-4a-1)$ должно делиться на $4a^2-4a-1$

$8a+2$ делиться на $4a^2-4a-1$

$8a+2<4a^2-4a-1$

$12a+3<4a^2$ а это только при $a>3$ проверяя $2,3$ убеждаемся что нет ответов при $a\ne b$

у тебя ошибка в 9-ой строчке: -2a-2b+2 делится на p, никаких противоречий нет.

Подсказка: попытайся решить через vieta jumping

Извиняюсь за ошибку, но там все равно разве не к финалу сводится $?$

Заметим что

$b^2(4a^2-1)-(4ab-1)(4a^3b-2ab+a^2)=(a-b)^2$=>> $\frac{(a-b)^2}{4ab-1}=k$. Пусть $a,b$ минимальная пара чисел такая что $\frac{(a-b)^2}{4ab-1}=k$ и $a>b$. Тогда $a^2-a(2b+4bk)+b^2+k=0$.

$f(x)= x^2-x(2b+4bk)+b^2+k$ если $f(x)=0$ первый корень $x_1=a$ и пусть второй корень $x_2=a_1$. Из минимальности следует что $a_1>a$. Но $f(b)=b^2-b(2b+4bk)+b^2+k=k-4kb^2<0$ отсюда $f(b)<0$ значит $b$ лежит между двумя корнями то есть $a>b>a_1$ отсюда противоречие значит $a=b$.