Математикадан 48-ші халықаралық олимпиада, 2007 жыл, Ханой

$ABC$ үшбұрышында $BCA$ бұрышының биссектрисасы осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді екінші рет $R$ нүктесінде, $BC$ және $AC$ қабырғаларының орта перпендикулярларын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $K$ және $L$ нүктелері сәйкесінше $BC$ және $AC$ кесінділерінің орталары. $RPK$ және $RQL$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$\angle ARQ = \angle ABC = \angle ABP + \angle PBC = \angle ABP + \angle RBA = \angle RBP$, и еще $\angle RPB = \angle RQA = C$, тогда $\triangle RBP = \triangle ARQ$, откуда $RP = AQ, RQ= BP$. Заметим что $AQL \sim BPK$, откуда $\frac{PK}{QL} = \frac{BP}{AQ}$, по быстрому счету углов находим что $\angle RPK = RQL = 90 + \frac{1}{2}C$, тогда $\frac {S(RPK)}{S(RQL} = \frac {RP \cdot PK}{RQ \cdot QL} = \frac{AQ}{BP}\cdot \frac{BP}{AQ} = 1$