3-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Пловдив, Болгария, 1999 год

В треугольнике $ABC$ верно $AB=AC$. Пусть $D$ точка на стороне $BC$ такая, что $BC > BD > DC > 0$, $\mathcal{C}_1$ и $\mathcal{C}_2$ — описанные окружности треугольников $ABD$ и $ADC$ соответственно. Пусть $BB'$ и $CC'$ — диаметры в этих двух окружностях, а $M$ — середина отрезка $B'C'$. Докажите, что площадь треугольника $MBC$ не зависит от выбора точки $D$. ( Greece )

Комментарий/решение

Нетрудно понять, что $C_{1}B_1 \bot CB$, так как $\angle B_1DB=\angle C_1DC=90$. Также имеем, что $\angle BAB_1=90=\angle CAC_1, \Rightarrow \angle CAB=\angle C_1AB_1$. Также $ABDB_1$ вписан, тогда $\angle DBA=180-\angle ABC=180-90+\frac{\angle CAB}{2}=90+\frac{\angle CAB}{2}$, $\Rightarrow \angle AB_1C_1=90-\frac{\angle CAB}{2}, \Rightarrow \triangle AB_1C_1$ подобен $\triangle ABC$, тогда $\angle AMD=90$, $\Rightarrow AMDH $- прямоугольник, где $AH$ - высота треугольника $ABC$, то есть $MD=AH$. Отсюда имеем, что $S_{ABC}=\frac{BC \cdot AH}{2}=S_{MBC}$, ч.т.д.