Математикадан жасөспірімдер арасындағы 2-ші Балкан олимпиадасы 1998 жыл, Афины, Греция
ABC үшбұрышында AB=AC. BC>BD>DC>0 болатындай BC қабырғасынан D нүктесі алынған, C1 және C2 — сәйкесінше ABD және ADC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер. BB′ және CC′ қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал M нүктесі B′C′ кесіндісінің ортасы болсын. MBC үшбұрышының ауданы D нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер.
(
Greece
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Нетрудно понять, что C1B1⊥CB, так как ∠B1DB=∠C1DC=90. Также имеем, что ∠BAB1=90=∠CAC1,⇒∠CAB=∠C1AB1. Также ABDB1 вписан, тогда ∠DBA=180−∠ABC=180−90+∠CAB2=90+∠CAB2, ⇒∠AB1C1=90−∠CAB2,⇒△AB1C1 подобен △ABC, тогда ∠AMD=90, ⇒AMDH- прямоугольник, где AH - высота треугольника ABC, то есть MD=AH. Отсюда имеем, что SABC=BC⋅AH2=SMBC, ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.