Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан жасөспірімдер арасындағы 2-ші Балкан олимпиадасы 1998 жыл, Афины, Греция


ABC үшбұрышында AB=AC. BC>BD>DC>0 болатындай BC қабырғасынан D нүктесі алынған, C1 және C2 — сәйкесінше ABD және ADC үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер. BB және CC қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал M нүктесі BC кесіндісінің ортасы болсын. MBC үшбұрышының ауданы D нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
3 года 11 месяца назад #

Нетрудно понять, что C1B1CB, так как B1DB=C1DC=90. Также имеем, что BAB1=90=CAC1,CAB=C1AB1. Также ABDB1 вписан, тогда DBA=180ABC=18090+CAB2=90+CAB2, AB1C1=90CAB2,AB1C1 подобен ABC, тогда AMD=90, AMDH- прямоугольник, где AH - высота треугольника ABC, то есть MD=AH. Отсюда имеем, что SABC=BCAH2=SMBC, ч.т.д.