Математикадан жасөспірімдер арасындағы 2-ші Балкан олимпиадасы 1998 жыл, Афины, Греция

$ABC$ үшбұрышында $AB=AC$. $BC > BD > DC > 0$ болатындай $BC$ қабырғасынан $D$ нүктесі алынған, $\mathcal{C}_1$ және $\mathcal{C}_2$ — сәйкесінше $ABD$ және $ADC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберлер. $BB'$ және $CC'$ қабырғалары осы шеңберлердің диаметрлері болсын, ал $M$ нүктесі $B'C'$ кесіндісінің ортасы болсын. $MBC$ үшбұрышының ауданы $D$ нүктесін таңдаудан тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер. ( Greece )

Комментарий/решение

Нетрудно понять, что $C_{1}B_1 \bot CB$, так как $\angle B_1DB=\angle C_1DC=90$. Также имеем, что $\angle BAB_1=90=\angle CAC_1, \Rightarrow \angle CAB=\angle C_1AB_1$. Также $ABDB_1$ вписан, тогда $\angle DBA=180-\angle ABC=180-90+\frac{\angle CAB}{2}=90+\frac{\angle CAB}{2}$, $\Rightarrow \angle AB_1C_1=90-\frac{\angle CAB}{2}, \Rightarrow \triangle AB_1C_1$ подобен $\triangle ABC$, тогда $\angle AMD=90$, $\Rightarrow AMDH $- прямоугольник, где $AH$ - высота треугольника $ABC$, то есть $MD=AH$. Отсюда имеем, что $S_{ABC}=\frac{BC \cdot AH}{2}=S_{MBC}$, ч.т.д.