Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2007 год

На какое наименьшее натуральное число надо умножить произведение $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot \ldots \cdot 10!$, чтобы полученное произведение стало квадратом некоторого натурального числа? ($n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$)

Комментарий/решение

Алдыңғы шешімім қате

Прошлое решение не правильное.

1!×2!×3!×4!×5!×6!×7!×8!×9!×10! Это тоже самое что 2⁹×3⁸×4⁷×5⁶×6⁵×7⁴×8³×9²×10

a^n×b^n=(ab)^n

Значит у всех чисел должен быть одинаковое найменшое четное степень а это 10.

Значит нам не хватает 2×3²×4³×5⁴×6⁵×7⁶×8⁷×9⁸×10⁹. Мне лень считать надеюсь это считается как ответ.

Почему?

Если запишешь число

$2^9 \times 3^8 \times ... \times 10$ и домножишь туда $2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10$(это не ответ, можно еще меньше, но это меньше чем то что ты предложил) то полученное число будет полным квадратом

( $(2^5 \times 3^4 \times 4^4 \times 5^3 \times 6^3 \times 7^2 \times 8^2 \times 9 \times 10)^2$)

Т.е. то что степени всех чисел будет четным уже достаточно. Необязательно чтобы они все были 10

А ок хорошо.

$$1! \times 2!... \times 10! = 2^9 \times 3^8 ... \times 10$$

Мы знаем

$$4^7=2^{14}$$

$$6^5=2^5 \times 3^5$$

$$8^3=2^9$$

$$9^2=3^4$$

$$10=2*5$$

Значит мы получим

$$2^{9+14+5+9+1} \times 3^{8+5+4} \times 5^{5+1} \times 7^4$$

$$2^{38} \times 3^{17} \times 5^6 \times 7^4$$

Значит надо число умножить на 3, чтоб все степени стали четными