Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур заключительного этапа

$CK$ — биссектриса треугольника $ABC$. На сторонах $BC$ и $AC$ выбраны точки $L$ и $T$ соответственно такие, что $CT = BL$ и $TL = BK$. Докажите, что треугольник $LTC$ подобен исходному. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Отметим такую точку $S$, что $BLSK$ — параллелограмм. Если $S$ совпала с $T$, то подобие очевидно. Если же $S$ не совпала с $T$, то поскольку $CT = BL = KS$ и $\angle SKC = \angle KCL = \angle KCA$, точки $K$, $C$, $T$, $S$ — вершины равнобедренной трапеции. Так как $TL = KB = LS$, то точка $L$ лежит на оси симметрии этой трапеции, следовательно, $\angle CTL = \angle KSL = \angle KBL$, откуда и следует требуемое подобие.