6-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2006 жыл
abc=1 теңдігін қанағаттандыратын оң нақты a, b және c сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:
4(3√ab+3√bc+3√ca)≤3(2+a+b+c+1a+1b+1c)2/3.
(
К. Жубаев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a=xy,b=zx болсын, мұндағы x,y,z>0. Онда abc=1 болғандықтан, c=yz болады.
3√ab+3√bc+3√ca=x+y+z3√xyz
2+a+b+c+1a+1b+1c=(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz−1≥
≥(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz−(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz=8(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz
27(8(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz)2≥64(x+y+z3√xyz)3 теңсіздігін дәлелдеcек жеткілікті.
⇐(x+y+z)2(xy+yz+zx)2≥3xyz(x+y+z)3
⇐(xy+yz+zx)2≥3xyz(x+y+z)
⇐(xy−xz)2+(xy−yz)2+(yz−zx)2≥0
Очень красивое решение. Было в моих силах, поставил бы не один плюсик, а десять.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.