Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2006 жыл


abc=1 теңдігін қанағаттандыратын оң нақты a, b және c сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: 4(3ab+3bc+3ca)3(2+a+b+c+1a+1b+1c)2/3. ( К. Жубаев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  8
5 года назад #

a=xy,b=zx болсын, мұндағы x,y,z>0. Онда abc=1 болғандықтан, c=yz болады.

3ab+3bc+3ca=x+y+z3xyz

2+a+b+c+1a+1b+1c=(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz1

(x+y+z)(xy+yz+zx)xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz=8(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz

27(8(x+y+z)(xy+yz+zx)9xyz)264(x+y+z3xyz)3 теңсіздігін дәлелдеcек жеткілікті.

(x+y+z)2(xy+yz+zx)23xyz(x+y+z)3

(xy+yz+zx)23xyz(x+y+z)

(xyxz)2+(xyyz)2+(yzzx)20

  3
4 года 7 месяца назад #

Очень красивое решение. Было в моих силах, поставил бы не один плюсик, а десять.

  1
11 месяца 3 дней назад #

красиво