Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур заключительного этапа
Каждое из чисел x, y и z не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство x21+x+xyz+y21+y+xyz+z21+z+xyz≤1.
(
А. Храбров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Заметим, что 1+yz≥y+z, поскольку (1−y)(1−z)≥0. Следовательно, 1+x+xyz=1+x(1+yz)≥1+x(y+z)≥x2+xy+xz. Поэтому x21+x+xyz≤x2x2+xy+xz=xx+y+z. Применяя такую оценку к каждой из трёх дробей, получаем требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.