Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур заключительного этапа


Каждое из чисел x, y и z не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство x21+x+xyz+y21+y+xyz+z21+z+xyz1. ( А. Храбров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что 1+yzy+z, поскольку (1y)(1z)0. Следовательно, 1+x+xyz=1+x(1+yz)1+x(y+z)x2+xy+xz. Поэтому x21+x+xyzx2x2+xy+xz=xx+y+z. Применяя такую оценку к каждой из трёх дробей, получаем требуемое.

  0
4 года 2 месяца назад #

x21+x+xyz+y21+y+xyz+z21+z+xyzx2x2+x+yz+y2y2+y+xyz+z2z2+z+xyz=x1+x+yz++y1+y+xyz+z1+z+xyzxx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=x+y+zx+y+z=1.