Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2012-2013 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры
Әр x, y және z саны 0-ден кем емес және 1-ден үлкен емес. Келесі теңсіздікті дәлелдеңдер x21+x+xyz+y21+y+xyz+z21+z+xyz≤1.
(
А. Храбров
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Заметим, что 1+yz≥y+z, поскольку (1−y)(1−z)≥0. Следовательно, 1+x+xyz=1+x(1+yz)≥1+x(y+z)≥x2+xy+xz. Поэтому x21+x+xyz≤x2x2+xy+xz=xx+y+z. Применяя такую оценку к каждой из трёх дробей, получаем требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.