Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, II тур регионального этапа

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его «Лексус» едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Поскольку Борис встретился с Васиной рессорой, то к середине пути он Васю еще не догнал. Ясно, что в нормальных условиях он догнал бы Васю через 10/9 часа; значит, Вася проехал первую половину пути за $10/9-a$ часов при некотором $a \geq 0$, а тогда весь путь он проделал за $10/3-3a$ часов. Борис же первую половину пути проехал за $1/9-a/10$ часов, а вторую — вдвое медленнее, тогда на весь путь он затратил $4+1/3-3a/10 \geq 1+(10/3-3a)$ часов, что и требовалось.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. По условию одного часа форы Васе достаточно, чтобы Борис его не догнал на первой половине пути. Значит, на второй половине пути (где все скорости уменьшились вдвое) Васе достаточно 2 часов форы. А он имеет, как минимум, фору в 4 часа (которые Борис провел в сервисе). Значит, Борис завершит гонку не ранее, чем через 2 часа после Васи.