Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Бизнесмен Борис Михайлович, тракторист Васямен жарысқысы келді. Оның желаяқ «Лексусы» Васяның тракторынан он есе жылдам болғандықтан ол Васяға бір сағат ерте кетуге мүмкіндік берді. Васяның тракторы жоспарланған жолдың жартысын жүрген кезде тракторының рессоры құлап қалды, және соның есесіне, оның жылдамдығы бірінші жарты жолға қарағанда екі есе баяулады. Васяның рессорымен кездесу нәтижесінде Борис Михайлович көршілес қызметке 4 сағатқа тоқтады, содан кейін ол жолды алдындағыға қарағанда екі есе баяу жүрді. Нәтижесінде ол Васядан кем дегенде бір сағатқа қалып қойғанын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Поскольку Борис встретился с Васиной рессорой, то к середине пути он Васю еще не догнал. Ясно, что в нормальных условиях он догнал бы Васю через 10/9 часа; значит, Вася проехал первую половину пути за $10/9-a$ часов при некотором $a \geq 0$, а тогда весь путь он проделал за $10/3-3a$ часов. Борис же первую половину пути проехал за $1/9-a/10$ часов, а вторую — вдвое медленнее, тогда на весь путь он затратил $4+1/3-3a/10 \geq 1+(10/3-3a)$ часов, что и требовалось.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. По условию одного часа форы Васе достаточно, чтобы Борис его не догнал на первой половине пути. Значит, на второй половине пути (где все скорости уменьшились вдвое) Васе достаточно 2 часов форы. А он имеет, как минимум, фору в 4 часа (которые Борис провел в сервисе). Значит, Борис завершит гонку не ранее, чем через 2 часа после Васи.