қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2014 год
Задача №1. Четыре последовательных трехзначных числа делят с остатком соответственно на четыре последовательных двузначных числа. Какое наименьшее число разных остатков может получиться?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что
середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.
(
П. Кожевников,
А. Акопян,
С. Боев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Положительные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию ${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}=3$. Докажите неравенство
$$
{1\over \sqrt{a^3+1}}+{1\over \sqrt{b^3+1}}+{1\over \sqrt{c^3+1}} \leq
{3\over \sqrt{2}} .
$$
(
Н. Александров
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №4. На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм"
$k\times \ell$ клеток
(он состоит из $k$ горизонтальных рядов по $\ell$ клеток в каждом;
для примера на рисунке изображен параллелограмм $3\times 4$).
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. На столе лежит чётное число карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Пусть $a_k$ — количество карточек, на которых написано число $k$. Оказалось, что
$$a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\ldots\geq 0 $$ для каждого натурального $n$. Докажите, что карточки можно разложить
по парам, в каждой из которых числа отличаются на 1.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. На плоскости расположено $n$ чёрных и $n$ белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку.
Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы $n$ квадратам.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Дан параллелограмм $ABCD$. Вневписанная окружность треугольника $ABC$
касается стороны $AB$ в точке $L$, а продолжения стороны $BC$ — в точке $K$.
Прямая $DK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $X$; прямая $BX$ пересекает
медиану $CC_1$ треугольника $ABC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая
$YL$, медиана $BB_1$ треугольника $ABC$ и его же биссектриса $CC'$
пересекаются в одной точке.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Пусть $a$, $b$, $c$ — попарно взаимно простые натуральные числа.
Обозначим через $g(a, b, c)$ наибольшее натуральное число,
не представимое в виде $xa+yb+zc$ при натуральных $x$, $y$, $z$.
Докажите, что $g(a, b, c)\geq \sqrt{2abc}.$
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение