Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2014 год


Задача №1.  Четыре последовательных трехзначных числа делят с остатком соответственно на четыре последовательных двузначных числа. Какое наименьшее число разных остатков может получиться? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение
Задача №3.  Положительные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию ${1\over a}+{1\over b}+{1\over c}=3$. Докажите неравенство $$ {1\over \sqrt{a^3+1}}+{1\over \sqrt{b^3+1}}+{1\over \sqrt{c^3+1}} \leq {3\over \sqrt{2}} . $$ ( Н. Александров )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  На бумаге с шестиугольными клеточками отметили "параллелограмм" $k\times \ell$ клеток (он состоит из $k$ горизонтальных рядов по $\ell$ клеток в каждом; для примера на рисунке изображен параллелограмм $3\times 4$).

В этом параллелограмме выбрали набор непересекающихся сторон клеток, которые разбивают все узлы на пары. Сколькими способами это можно сделать? ( Т. Дошилич )
комментарий/решение
Задача №5.  На столе лежит чётное число карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Пусть $a_k$ — количество карточек, на которых написано число $k$. Оказалось, что $$a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\ldots\geq 0 $$ для каждого натурального $n$. Докажите, что карточки можно разложить по парам, в каждой из которых числа отличаются на 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №6.  На плоскости расположено $n$ чёрных и $n$ белых квадратов, каждый из которых может быть переведен в любой другой параллельным переносом. Каждые два квадрата разного цвета имеют общую точку. Докажите, что существует точка, принадлежащая хотя бы $n$ квадратам. ( В. Дольников )
комментарий/решение
Задача №7.  Дан параллелограмм $ABCD$. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $L$, а продолжения стороны $BC$ — в точке $K$. Прямая $DK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $X$; прямая $BX$ пересекает медиану $CC_1$ треугольника $ABC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YL$, медиана $BB_1$ треугольника $ABC$ и его же биссектриса $CC'$ пересекаются в одной точке. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №8.  Пусть $a$, $b$, $c$ — попарно взаимно простые натуральные числа. Обозначим через $g(a, b, c)$ наибольшее натуральное число, не представимое в виде $xa+yb+zc$ при натуральных $x$, $y$, $z$. Докажите, что $g(a, b, c)\geq \sqrt{2abc}.$ ( М. Иванов )
комментарий/решение