қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2014 жыл
Есеп №1. Қатар келе жатқан, төрт үш таңбалы сандар, сәйкесінше қатар келе жатқан төрт екі таңбалы сандарға қалдықпен бөлінеді.Ең кем дегенде қанша әртүрлі қалдық қалуы мүмкін?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\angle BAK=\angle CAL=90{}^\circ $ болатындай, $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында $K$ және $L$ нүктелері табылды. $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, $KL$ кесіндісінің ортасы және $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жатанынын дәлелдеңіз.
(
П. Кожевников,
А. Акопян,
С. Боев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Оң $a$, $b$, $c$ сандары $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ шартын қанағаттандырса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{3}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{b}^{3}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{c}^{3}}+1}}\le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$.
(
Н. Александров
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Есеп №4. Алтыбұраышты торшалар салынған қағазда, $k\times \ell $ торшадан тұратын «параллелограм» белгіленсін (әр жолда $\ell $ торшасы бар $k$ горизонтал жолдардан тұрады; мысал ретінде суретте $3\times 4$ параллелограмы көрсетілген).
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Үстелде, натурал сан жазылған, барлығы жұп мөлшердегі карточкалар жатыр. $k$ саны жазылған карточкалар саны ${{a}_{k}}$ болсын. Әрбір натурал $n$ үшін, ${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}-\ldots\ge 0$ екені анықталды. Екі карточканың сан айырмашылығы 1 болатындай, карточкаларды жұптарға бөлуге болатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жазықтықта, параллель көшіріле алатын, $n$ қара және $n$ ақ шаршылар орналасқан. Түстері әртүрлі әрбір екі шаршыда, бір ортақ нүкте бар. Кем-дегенде $n$ шаршыларға ортақ, бір нүкте бар екенін дәлелдеңіз.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. $ABCD$ параллелограмы берілсін. $ABC$ үшбұрышына іштейсырт салынған шеңбер $AB$ қабырғасымен $L$ нүктесінде жанасады, ал $BC$ қабырғасының жалғасымен $K$ нүктесінде жанасады. $DK$ түзуі, $AC$ диагональін $X$ нүктесінде қияды, ал $BX$ түзуі $ABC$ үшбұрышының $C{{C}_{1}}$ медианасын $Y$ нүктесінде қияды. $YL$ түзуі, $ABC$ үшбұрышының $B{{B}_{1}}$ медианасы және осы үшбұрыштың $CC'$ биссектрисасы бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $a$, $b$, $c$ сандары өзара жай, натурал сандар болсын. $x$, $y$, $z$ сандары үшін, $xa+yb+zc$ түрінде жазыла алмайтын ең үлкен натурал санды $g\left( a,b,c \right)$ деп белгілейік. $g\left( a,b,c \right)\ge \sqrt{2abc}$ екенін дәлелдеңіз.
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение