А. Акопян

Задача №1. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №2. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ нашлись точки $K$ и $L$ такие, что $\angle BAK = \angle CAL = 90^{\circ}$. Докажите, что середина высоты, опущенной из вершины $A$, середина отрезка $KL$ и центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. На отрезке $AB$ нашлись такие точки $X$ и $Y$, что $AX=AM$, $BY=BM$. Пусть точка $Z$ — середина отрезка $XY$, а $N$ — точка пересечения отрезков $XD$ и $YC$. Докажите, что прямая $ZN$ параллельна основаниям трапеции. ( А. Акопян, А. Мякишев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №4. Герцог Квадратный завещал своим трех сыновьям квадратное поместье 100 на 100 км, разделенное на 10000 квадратных участков со стороной 1 км. Для раздела наследства он указал каждому сыну по точке внутри поместья и завещал ему те участки, расстояния от центров которых до этой точки меньше, чем расстояния до точек его братьев. В результате все поместье оказалось разделено между сыновьями. Верно ли, что независимо от выбора точек доля каждого сына окажется связной (то есть между любыми двумя точками одной доли существует путь, не выходящий за границы этой доли). ( А. Акопян )
комментарий/решение олимпиада

Задача №5. Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекает его диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ — в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельно $CD$. ( А. Акопян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. Дан выпуклый шестиугольник $AC'BA'CB'$, у которого каждые две противоположные стороны равны. $A_1$ — точка пересечения $BC$ и серединного перпендикуляра к $AA'$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой. ( А. Акопян )
комментарий/решение олимпиада

Задача №7. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, точка $M$ — середина $AB$. На прямой $AB$ выбраны точки $S_1$ и $S_2$. Касательные, проведенные из $S_1$ к окружности $\omega_1$ касаются ее в точках $X_1$ и $Y_1$, а касательные из $S_2$ к $\omega_2$ касаются ее в точках $X_2$ и $Y_2$. Докажите, что если прямая $X_1X_2$ проходит через $M$, то прямая $Y_1Y_2$ тоже проходит через $M$. ( А. Акопян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Дан треугольник $ABC$. Точка $B_1$ симметрична вершине $B$ относительно прямой $AC$, точка $C_1$ симметрична вершине $C$ относительно прямой $AB$. Точка $O_1$ симметрична центру описанной окружности треугольника $ABC$ относительно прямой $BC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $AB_1C_1$ лежит на прямой $AO_1$. ( А. Акопян )
комментарий/решение олимпиада