Международная олимпиада 2021, Санкт-Петербург, Россия, 2021 год

Задача №1.  Дано целое число $n > 100.$ Ваня написал числа $n$, $n+1$, $\ldots,$ $2n$ на $n+1$ карточке, каждое по одному разу. Затем он перемешал колоду из этих карточек и разделил её на две стопки. Докажите, что хотя бы одна из двух стопок содержит две карточки, сумма чисел на которых — точный квадрат.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Докажите, что для любых вещественных чисел $x_1,$ $\ldots,$ $x_n$ выполняется неравенство $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  Точка $D$ внутри остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB > AC$, такова, что $\angle DAB =\angle CAD.$ Точка $E$ на отрезке $AC$ такова, что $\angle ADE =\angle BCD$; точка $F$ на отрезке $AB$ такова, что $\angle FDA =\angle DBC$; точка $X$ на прямой $AC$ такова, что $CX = BX$. Точки $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ADC$ и $EXD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC,$ $EF$ и $O_1O_2$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(8)

---

Задача №4.  Дана окружность $\Gamma$ с центром $I$. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что каждый из отрезков $AB,$ $BC,$ $CD$ и $DA$ касается $\Gamma.$ Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AIC.$ Продолжение отрезка $BA$ за точку $A$ пересекает $\Omega$ в точке $X,$ продолжение отрезка $BC$ за точку $C$ пересекает $\Omega$ в точке $Z$. Продолжения отрезков $AD$ и $CD$ за точку $D$ пересекают $\Omega$ в точках $Y$ и $T$ соответственно. Докажите, что $AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Чип и Дейл собрали на зиму 2021 орешек. Чип пронумеровал орешки числами от 1 до 2021 и вырыл 2021 маленькую ямку вокруг их любимого дерева. На следующее утро он обнаружил, что Дейл положил в каждую ямку по орешку, ничуть не беспокоясь о порядке. Расстроившись, Чип решил переупорядочить орешки посредством следующей последовательности из 2021 действия: во время $k$-го действия он меняет местами орешки, соседние с орешком под номером $k$. Докажите, что найдётся такое число $k$, что во время $k$-го действия поменялись местами орешки с номерами $a$ и $b$ такими, что $a < k < b$.
комментарий/решение(4)

---

Задача №6.  Дано целое число $m > 2.$ В конечном множестве $A$, состоящем из (не обязательно положительных) целых чисел, нашлись такие подмножества $B_1,$ $B_2,$ $B_3,$ $\ldots,$ $B_m$, что при каждом $k = 1, 2, \ldots ,m$ сумма элементов множества $B_k$ равна $m^k$. Докажите, что $A$ содержит хотя бы $m/2$ элементов.
комментарий/решение(2)

---