Международная олимпиада 2021, Санкт-Петербург, Россия, 2021 год

Дано целое число $n > 100.$ Ваня написал числа $n$, $n+1$, $\ldots,$ $2n$ на $n+1$ карточке, каждое по одному разу. Затем он перемешал колоду из этих карточек и разделил её на две стопки. Докажите, что хотя бы одна из двух стопок содержит две карточки, сумма чисел на которых — точный квадрат.

Комментарий/решение

Попробуем доқазать что среди них есть 3 различные числа $a$, $b$ и $c$ такие что :

$$a+b=l^2$$

$$a+c=m^2$$

$$b+c=k^2$$

Заметим что тогда:

$$2(a+b+c)=l^2+m^2+k^2$$

$$a+b+c=\dfrac{l^2+k^2+m^2}{2}$$

$$a=\dfrac{l^2-k^2+m^2}{2}$$

$$b=\dfrac{l^2+k^2-m^2}{2}$$

$$c=\dfrac{k^2+m^2-l^2}{2}$$

Заметим что $2\mid a+b+c$

Обозначим числа

$l^2$, $k^2$ и $m^2$ как $(2r+x)^2$

$(2r+y)^2$

И $(2r+z)^2$ соответственно

Б.О.О. возьмем что $x>y>z$

Значит $a=2r^2+x+y-z$, $b=2r^2+x-y+z$, $c=2r^2-x+y+z$

Докажем что среди $n$ и $2n$ найдутся числа $a$ и $c$ поскольку это минимальное и максимальное среди чисел

Ну и после очевидного неравенства выходит что:

$\sqrt{1+\dfrac{n}{2}}+1 \leq r$

$\sqrt{1+n}-1 \geq r$

Значит $n$ работает для всех чисел $\geq 107$

Проверяем остальные числа от 100 до 106

Пример от 100 до 106:

$a=198$

$b=163$

$c=126$