Processing math: 5%

Международная олимпиада 2021, Санкт-Петербург, Россия, 2021 год


Докажите, что для любых вещественных чисел x1, , xn выполняется неравенство ni=1nj=1|xixj|
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2 года 10 месяца назад #

Я это решил. Поверьте

  1
2 года 10 месяца назад #

bro got the whole chat laughing

пред. Правка 2   9
2 года 1 месяца назад #

Будем доказывать задачу индукцией по n, где база для n=1 очевидна. Заметим, что, если сдвинуть все переменные на число d, то попарные разности не поменяются, а справа появится f(d) = \sum_{1 \leq i,j\leq n} \sqrt{|x_i+x_j+2d|}. Важной частью этой задачи является понять как устроен график этой функции. Во первых, f является суммой непрерывных функций, а значит сама непрерывна. Рассмотрим все точки d, в которых x_i+x_j+2d = 0 - r_1, ..., r_t, их конечное число и они делят числовую прямую на части R_0, R_2, ..., R_t. Заметим, что функция вида \sqrt{|2x+c|} вогнута для всех 2x+c \neq 0, тогда на каждом R_i все функции будут вогнутыми, а значит f, как их сумма, тоже. Сделаем пометку, что из за непрерывности эти "куски" функций будут соприкасаться на концах интервалов. Так как функция стремится к бесконечности с обоих концов и функция вогнута на интервалах R_0 и R_t, то на этих интервалах она просто монотонно убывает и возрастает, соответственно. Рассмотрим минимальное из значений f в точках r_1, ..., r_t - f(r_m). Допустим, что у функции есть значение f(x)\leq f(r_m) и оно не совпадает с концом какого то интервала, тогда пусть этот x лежит на интервале R_j (очевидно, что j \neq 0,t, так как функция монотонна на них и больше, чем конец интервала), и так как функция на нем вогнута, то f(x) \geq min(f(r_j), f(r_{j+1})) \geq f(r_m)), причем равенство только если x совпадает с каким то из концов интервала. Мы только что доказали, что f(x) \geq f(r_m) для всех x, тогда достаточно доказать наше неравенство в случае, когда d=r_m, тогда у нас будет новое неравенство \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|y_i-y_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|y_i+y_j|}, где каждое y_i=x_i+d, тогда y_i+y_j=0 для каких то 1 \leq i,j\leq n, тогда \sqrt{|y_i+y_k|} = \sqrt{|y_j-y_k|}, тогда эти члены сократятся и останется неравенство для n-2 переменных (или n-1, если i был равен j)

  9
1 года 4 месяца назад #

Покажите, что неравенство }^n \sqrt{|x_i+x_j|} \] выполняется для всех действительных чисел x_1,\ldots x_n.

Пусть f(x)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|(x_i+x)+(x_j+x)|}.

Имеем \lim_{x_\to\infty}=\lim_{x_\to-\infty}=\infty и f непрерывен. Таким образом, существует x, для которого f(x) является минимальным. Поскольку \sqrt{x} выпукла, f(x) минимальна при 2x=x_i+x_j.

При i=j мы можем свести неравенство к n-1 переменным.

Для i\neq j мы можем свести неравенство к n-2 переменным.