Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Международная олимпиада 2021, Санкт-Петербург, Россия, 2021 год


Дана окружность Γ с центром I. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что каждый из отрезков AB, BC, CD и DA касается Γ. Пусть Ω — описанная окружность треугольника AIC. Продолжение отрезка BA за точку A пересекает Ω в точке X, продолжение отрезка BC за точку C пересекает Ω в точке Z. Продолжения отрезков AD и CD за точку D пересекают Ω в точках Y и T соответственно. Докажите, что AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2 года 3 месяца назад #

Докажем что:

TX=ZY

I инцентр ABCD

Из чего AI биссектриса DAB

Из чего IZX=IAB=IAD=IAY

Значит хорды IX=IY

Из чего Y симметрично X относительно OI

СледовательноTX=YZ

Теперь докажем что

AD+DT+XA=CD+DY+ZC

P,Q,N,M касательные к окружности Γ сторон AB,BC,CD,DA соответственно

AD=AM+MD=AP+ND

AD+DT+XA=AP+ND+DT+XA=XP+NT

Аналогично

CD+DY+ZC=ZQ+YM

Осталь доказать чтоXP+NT=ZQ+YM

Проведем еще одну касательную XJ к окружности Γ тпкую что точки J,P различны

Так как X и Y симметричны получим что XJ и YM также является симметричными

Следовательно XP=XJ=YM

Аналогично получим что NT=ZQ

Из чего XP+NT=ZQ+YM

Что и требовалось доказать

пред. Правка 2   2
2 года 3 месяца назад #