Международная олимпиада 2021, Санкт-Петербург, Россия, 2021 год
Дана окружность Γ с центром I. Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что каждый из отрезков AB, BC, CD и DA касается Γ. Пусть Ω — описанная окружность треугольника AIC. Продолжение отрезка BA за точку A пересекает Ω в точке X, продолжение отрезка BC за точку C пересекает Ω в точке Z. Продолжения отрезков AD и CD за точку D пересекают Ω в точках Y и T соответственно. Докажите, что AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Докажем что:
TX=ZY
I инцентр ABCD
Из чего AI биссектриса ∠DAB
Из чего ∠IZX=∠IAB=∠IAD=∠IAY
Значит хорды IX=IY
Из чего Y симметрично X относительно OI
СледовательноTX=YZ
Теперь докажем что
AD+DT+XA=CD+DY+ZC
P,Q,N,M касательные к окружности Γ сторон AB,BC,CD,DA соответственно
AD=AM+MD=AP+ND
AD+DT+XA=AP+ND+DT+XA=XP+NT
Аналогично
CD+DY+ZC=ZQ+YM
Осталь доказать чтоXP+NT=ZQ+YM
Проведем еще одну касательную XJ к окружности Γ тпкую что точки J,P различны
Так как X и Y симметричны получим что XJ и YM также является симметричными
Следовательно XP=XJ=YM
Аналогично получим что NT=ZQ
Из чего XP+NT=ZQ+YM
Что и требовалось доказать
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.