қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $a < b$ теріс емес бүтін сандары үшін $M(a,b)$ арқылы $\sqrt{i^2+3i+3}$, $a\leq i\leq b$ сандар жиынының арифметикалық ортасын белгілейік, яғни $
M(a,b) = \dfrac{{\sum\limits_{i = a}^b {\sqrt {i^2 + 3i + 3} } }}
{{b - a + 1}}.
$
$[M(a,b)]$ мәнін есептеңіздер ($a$ және $b$–дан тәуелді функция ретінде), яғни $M(a,b)$ –нан аспайтын ең үлкен бүтін сан.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $\{1, 2, \dots , 2010\}$ жиынының ішкі жиыны $A$ келесі қасиеттерге ие: $A$ ішкі жиындағы кез келген екі санның айырымы жай сан емес. $A$ ішкі жиынының ең көп дегенде қанша элементі болуы мүкін?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABCD$ трапециясына іштей сызылған $\omega$ шеңберінің центрі $I$ нүктесі болсын. $AD$ және $BC$ қабырғалары $R$ нүктесінде қиылыссын. $P$ және $Q$ нүктелері $\omega$ шеңберінің сәйкесінше $AB$ және $CD$ қабырғаларымен жанасу нүктелері болсын. $P$ нүктесі арқылы өтетін және $PR$ кесіндісіне перпендикуляр болатын түзу $AI$ және $BI$ түзулерін сәйкесінше $A_0$ және $B_0$ нүктелерінде қияды, ал $Q$ нүктесі арқылы өтіп $QR$ кесіндісіне перпендикуляр болатын түзу $CI$ және $DI$ түзулерін сәйкесінше $C_0$ және $D_0$ нүктелерінде қияды. $A_0D_0=B_0C_0$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кез келген $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ үшін келесі теңдікті қанағаттандыратындай барлық $f: \mathbb{R}^{+}\to \mathbb{R} ^{+}$ функцияларын табыңыздар: $$
\left( {1 + y \cdot f(x)} \right)\left( {1 - y \cdot f(x + y)} \right) = 1,
$$
мұндағы $\mathbb{R}^{+}$ — барлық нақты оң сандары жиыны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Қабырғалары әр түрлі түсті болатын $n$ ыдыс бар ($n > 2$): әрбір ыдыстың бір жағы көк түсті, ал екінші жағы қызыл түсті(реверси ойынындағыдай). Осы ыдыстардың дұрыс $n$-қабырғалы көпбұрыштардың төбелерінде орналасуын конфигурация деп атаймыз. Бір жүрісте қатар тұрған үш ыдыс аударуға болады. Бастапқы мөлшерленген шекті жүріс санына байланысты ыдыстардың қанша түрлі конфигурациясын алуға болады? (екі конфигурация әр түрлі болады, егер олар кем дегенде бір төбедегі түсі әр түрлі болса. )
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Кез келген $k$ натурал саны үшін $2^{n^2}+1$ саны $n^3$ санына қалдықсыз бөлінетіндей және дәл $k$ әр түрлі бөлгіші болатындай $n$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)