Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Изначально все клетки доски

$2021 \times 2021$ белые. Арман и Бахытжан играют в такую игру. Сначала Арман закрашивает

$n$ квадратиков в красный цвет. Затем Бахытжан выбирает 1011 строк и 1011 столбцов и перекрашивает все ячейки в выбранных строках и столбцах в чёрный цвет. Арман выигрывает в том случае, если осталась хотя бы одна красная клетка, в противном случае выигрывает Бахытжан. При каком наименьшем

$n$ Арман гарантирует себе победу, независимо от того, как будет действовать Бахытжан?
комментарий/решение(12)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC,$ в котором

$AB=AC+\frac{BC}{2}.$ На стороне

$BC$ отметили точки

$P,$

$Q$ и

$R$ так, что

$BP = PQ = QR = RC.$ Прямые

$AP$ и

$AR$ пересекают серединный перпендикуляр к

$PQ$ соответственно в точках

$X$ и

$Y$ . На отрезке

$XY,$ как на диаметре, построена окружность

$\Omega$ . Докажите, что

$\Omega$ проходит через точки

$B$ и

$R.$
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найти все пары

$(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению

$125 \cdot 2^x-3^y=271.$
комментарий/решение(12)

Задача №4. Пусть

$a,$

$b,$

$c$ — положительные целые числа такие, что

$24a^2 + 2b^2 + 21c^2 = 24a + 2b + 21c.$ Найдите наименьшее значение выражения

$A = \sqrt {\frac{a}{{b(24 + 2b + 21c)}}} + \sqrt {\frac{b}{{c(24a + 2 + 21c)}}} + \sqrt {\frac{c}{{a(24 + 2b + 21)}}} .$
комментарий/решение(6)

Задача №5. На плоскости нарисован четырёхугольник

$ABCD.$ Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка

$X,$ что квадрат расстояния от точки

$X,$ до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника

$ABCD,$ не превосходит

$\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. При каких натуральных

$n$ число

$(n-1)!$ делится на

$2021n^2?$
комментарий/решение(4)