Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC,$ в котором $AB=AC+\frac{BC}{2}.$ На стороне $BC$ отметили точки $P,$ $Q$ и $R$ так, что $BP = PQ = QR = RC.$ Прямые $AP$ и $AR$ пересекают серединный перпендикуляр к $PQ$ соответственно в точках $X$ и $Y$. На отрезке $XY,$ как на диаметре, построена окружность $\Omega$. Докажите, что $\Omega$ проходит через точки $B$ и $R.$

Комментарий/решение

Пусть окружность, вписанная в $\triangle ABC$ касается $BC$ в $R`$.

Тогда $CR` = p - AB \Leftrightarrow CR` = \frac{AB+AC+BC}{2} - AB = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{BC}{4} = CR$

Отсюда, точки $R$ и $R`$ совпадают, и соответсвенно, $P$ - симметричная $R$, является точкой касания вневписанной окружности $\triangle ABC$.

Рассмотрим окружность, касающуюся $AB$ в $B$. ($\omega_1$)

Легко доказать следующую Лемму (Лемма 1):

$\cdot$ Если P - точка касания вневписанной окружности напротив А, R - точка касания вписанной окружности с BC, T - точка пересечения AP с вписанной окружностью, то $RT$ - диаметр вписанной окружности.

Обозначим точку T также как и в лемме. Тогда $RT \parallel XY$ - сер. перу к $PQ$

Тогда при гомотетии с коэффициентом $AY/AR$ из $A$, вписанная окружность перейдет в $\omega_1$ и по Лемме 1 , XY - ее диаметр. Легко заметить, что $\omega_1$ и есть искомая окружность, что завершает доказательство.