Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
Пусть окружность, вписанная в △ABC касается BC в R‘.
Тогда CR‘=p−AB⇔CR‘=AB+AC+BC2−AB=AC+BC−AB2=BC4=CR
Отсюда, точки R и R‘ совпадают, и соответсвенно, P - симметричная R, является точкой касания вневписанной окружности △ABC.
Рассмотрим окружность, касающуюся AB в B. (ω1)
Легко доказать следующую Лемму (Лемма 1):
⋅ Если P - точка касания вневписанной окружности напротив А, R - точка касания вписанной окружности с BC, T - точка пересечения AP с вписанной окружностью, то RT - диаметр вписанной окружности.
Обозначим точку T также как и в лемме. Тогда RT∥XY - сер. перу к PQ
Тогда при гомотетии с коэффициентом AY/AR из A, вписанная окружность перейдет в ω1 и по Лемме 1 , XY - ее диаметр. Легко заметить, что ω1 и есть искомая окружность, что завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.