Processing math: 51%

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып


AB=AC+BC2 болатындай ABC үшбұрышы берiлсiн. BC қабырғасында BP=PQ=QR=RC болатындай P, Q және R нүктелерi белгiленген. AP және AR түзулерi PQ-ға жүргiзiлген орта перпендикулярды сәйкесiнше X және Y нүктелерiнде қияды. Диаметрi XY кесiндiсiндiсi болатындай Ω шеңберi салынған. Ω шеңберi B және R нүктелерi арқылы өтетiнiн дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
2 года 2 месяца назад #

Пусть окружность, вписанная в ABC касается BC в R`.

Тогда CR` = p - AB \Leftrightarrow CR` = \frac{AB+AC+BC}{2} - AB = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{BC}{4} = CR

Отсюда, точки R и R` совпадают, и соответсвенно, P - симметричная R, является точкой касания вневписанной окружности \triangle ABC.

Рассмотрим окружность, касающуюся AB в B. (\omega_1)

Легко доказать следующую Лемму (Лемма 1):

\cdot Если P - точка касания вневписанной окружности напротив А, R - точка касания вписанной окружности с BC, T - точка пересечения AP с вписанной окружностью, то RT - диаметр вписанной окружности.

Обозначим точку T также как и в лемме. Тогда RT \parallel XY - сер. перу к PQ

Тогда при гомотетии с коэффициентом AY/AR из A, вписанная окружность перейдет в \omega_1 и по Лемме 1 , XY - ее диаметр. Легко заметить, что \omega_1 и есть искомая окружность, что завершает доказательство.