Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып
Комментарий/решение:
Пусть окружность, вписанная в △ABC касается BC в R`.
Тогда CR` = p - AB \Leftrightarrow CR` = \frac{AB+AC+BC}{2} - AB = \frac{AC+BC-AB}{2} = \frac{BC}{4} = CR
Отсюда, точки R и R` совпадают, и соответсвенно, P - симметричная R, является точкой касания вневписанной окружности \triangle ABC.
Рассмотрим окружность, касающуюся AB в B. (\omega_1)
Легко доказать следующую Лемму (Лемма 1):
\cdot Если P - точка касания вневписанной окружности напротив А, R - точка касания вписанной окружности с BC, T - точка пересечения AP с вписанной окружностью, то RT - диаметр вписанной окружности.
Обозначим точку T также как и в лемме. Тогда RT \parallel XY - сер. перу к PQ
Тогда при гомотетии с коэффициентом AY/AR из A, вписанная окружность перейдет в \omega_1 и по Лемме 1 , XY - ее диаметр. Легко заметить, что \omega_1 и есть искомая окружность, что завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.