Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып


AB=AC+BC2 болатындай ABC үшбұрышы берiлсiн. BC қабырғасында BP=PQ=QR=RC болатындай P, Q және R нүктелерi белгiленген. AP және AR түзулерi PQ-ға жүргiзiлген орта перпендикулярды сәйкесiнше X және Y нүктелерiнде қияды. Диаметрi XY кесiндiсiндiсi болатындай Ω шеңберi салынған. Ω шеңберi B және R нүктелерi арқылы өтетiнiн дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
2 года 2 месяца назад #

Пусть окружность, вписанная в ABC касается BC в R.

Тогда CR=pABCR=AB+AC+BC2AB=AC+BCAB2=BC4=CR

Отсюда, точки R и R совпадают, и соответсвенно, P - симметричная R, является точкой касания вневписанной окружности ABC.

Рассмотрим окружность, касающуюся AB в B. (ω1)

Легко доказать следующую Лемму (Лемма 1):

Если P - точка касания вневписанной окружности напротив А, R - точка касания вписанной окружности с BC, T - точка пересечения AP с вписанной окружностью, то RT - диаметр вписанной окружности.

Обозначим точку T также как и в лемме. Тогда RTXY - сер. перу к PQ

Тогда при гомотетии с коэффициентом AY/AR из A, вписанная окружность перейдет в ω1 и по Лемме 1 , XY - ее диаметр. Легко заметить, что ω1 и есть искомая окружность, что завершает доказательство.