Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

На плоскости нарисован четырёхугольник $ABCD.$ Докажите, что на этой плоскости найдётся такая точка $X,$ что квадрат расстояния от точки $X,$ до самой удалённой от неё вершины четырёхугольника $ABCD,$ не превосходит $$\frac{{X{A^2} + X{B^2} + X{C^2} + X{D^2}}}{2}.$$

Комментарий/решение

Достаточно рассмотреть несколько случаев:

Случай 1:

$ABCD$ - параллелограмм, тогда беря $X$ как точку пересечения диагоналей и используя тот факт что точка пересечения диагоналей делит их пополам, получаем что $\frac{XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2}{2} = XA^2 + XB^2 > max(XA^2, XB^2)$.

Случай 2:

$AB$ не параллельно $CD$. Тогда серединные перпендикуляры к отрезкам $AB, CD$ имеют общею точку $X$, тогда так как $XA = XB$ и $XC = XD$, то $\frac{XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2}{2} = XA^2 + XC^2 > max(XA^2, XC^2)$.

Случай 3:

$AD$ не параллельно $BC$. Этот случай доказывается аналогично случаю 2.