Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып


Жазықтықта ABCD төртбұрышы салынған. X нүктесiнен ABCD төртбұрышының осы нүктеге дейiн ең қашық төбесiне дейiнгi қашықтықтың квадраты XA2+XB2+XC2+XD22 санынан аспайтындай осы жазықтықта X нүктесi табылатынын дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
4 года 2 месяца назад #

Достаточно рассмотреть несколько случаев:

Случай 1:

ABCD - параллелограмм, тогда беря X как точку пересечения диагоналей и используя тот факт что точка пересечения диагоналей делит их пополам, получаем что XA2+XB2+XC2+XD22=XA2+XB2>max(XA2,XB2).

Случай 2:

AB не параллельно CD. Тогда серединные перпендикуляры к отрезкам AB,CD имеют общею точку X, тогда так как XA=XB и XC=XD, то XA2+XB2+XC2+XD22=XA2+XC2>max(XA2,XC2).

Случай 3:

AD не параллельно BC. Этот случай доказывается аналогично случаю 2.