Математикадан облыстық олимпиада, 2021 жыл, 10 сынып
Жазықтықта ABCD төртбұрышы салынған. X нүктесiнен ABCD төртбұрышының осы нүктеге дейiн ең қашық төбесiне дейiнгi қашықтықтың квадраты XA2+XB2+XC2+XD22 санынан аспайтындай осы жазықтықта X нүктесi табылатынын дәлелдеңiз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Достаточно рассмотреть несколько случаев:
Случай 1:
ABCD - параллелограмм, тогда беря X как точку пересечения диагоналей и используя тот факт что точка пересечения диагоналей делит их пополам, получаем что XA2+XB2+XC2+XD22=XA2+XB2>max(XA2,XB2).
Случай 2:
AB не параллельно CD. Тогда серединные перпендикуляры к отрезкам AB,CD имеют общею точку X, тогда так как XA=XB и XC=XD, то XA2+XB2+XC2+XD22=XA2+XC2>max(XA2,XC2).
Случай 3:
AD не параллельно BC. Этот случай доказывается аналогично случаю 2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.