Processing math: 38%

Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс


Найти все пары (x,y) натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению 1252x3y=271.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   5
2 года 11 месяца назад #

Ответ:(3;6).

Заметим что при y=1 решений нет, теперь можно считать 3y делится на 9. Рассмотрим остаток при делении на 9, тогда из уравнении выходит что 2x+31(mod9), значит x+3 делится на 6, x=6k+3. Теперь рассмотрим остаток при делении на 7, (так как 261 делится на 7) тогда 3y1(mod7), значит y=6l. Тогда правая часть уравнения представляет вид a3b3 или (ab)(a2+ab+b2):

(522k+132l)(2524k+2+522k+132l+34l)=271, 271 простое число, заметим обе скобки положительны и вторая скобка больше еденицы, ясно что 522k+132l=1, далее вторая скобка приводится в вид: 123522k+132l=271, далее легко выходит что k=0,l=1 и ответ задачи.

  0
2 года 11 месяца назад #

Формула a^3-b^3 другая же

  0
2 года 11 месяца назад #

да, автор сделал ошибку в формуле, но использовал правильную формулу, заметьте

  0
2 года 11 месяца назад #

Можешь написать подробнее это решение, после того как получили две скобки как выходит последнее выражение

  0
2 года 11 месяца назад #

Либо я туплю либо не вижу дальше

  0
2 года 11 месяца назад #

Посмотрите решение этой задачи в 9 классе,там расписано подробнее.

пред. Правка 2   1
2 года 11 месяца назад #

Мне кажется он уже понял) то что я написал мне кажется очевидно, мне кажется примерно так нужно решать задачи, без воды, без показания очевидных не правильных вариантов. Я об этом писал подробнее в комментариях к задаче из юниорской Балканской олимпиады 2018, 2019 или 2020(не помню).

  1
2 года 11 месяца назад #

все еще помню твой коммент! матол для идей а не для полных решений)

  4
2 года 2 месяца назад #

we know y is even and x is odd ,5x ,3^y\equiv 9,17,25,1 \pmod {32} and 271\equiv 15 \pmod {32} \rightarrow 3^y\equiv17\pmod{32} so y=4k+2, 3^{4k+2}\equiv \pmod {32} ,81^k*9 \equiv 25,9 \pmod {32} but 271\equiv 15 \pmod {32} so x \leq4 and we have only one answer is x=3 ,y=6

пред. Правка 3   1
2 года назад #

Обозначим данное уравнение за (1).

Заметим, что при y \leq 2 решений нет, соответственно 27 \vert 3^y.

Рассмотрим (1) mod 27, тогда 17*2^x \equiv 1 (mod 27) (2). Простым перебором можно понять, что 2^x \equiv 8 mod 27. Рассмотрим остатки степеней двойки по модулю 27. Заметим, что при x \leq 7 единственная подходящая степень - 3. При x \geq 8 же, возникает цикл остатков mod 27 (2^8-2^{13}, 2^{13}-2^{19}, и.т.д), среди которых нет удовлетворяющих (2). Отсюда получаем, что единственное возможное решение для x это 3. Дальше легко понять, что единственным решением для y будет 6.

Ответ: (3,6)

  0
1 года 3 месяца назад #

Поставим уравнение под модулем 7ми

125×2^x-3^y \equiv 5 \pmod {7} \Rightarrow Первый случай : 125×2^x \equiv 3 \pmod{7} отсюда 3^y \equiv 5 \pmod{7}

Следовательно, x=2+3l y=5+6n \Rightarrow 500×8^l-243×729^n=271 , что невозможно

Второй случай : 125×2^x \equiv 6 \pmod{7} 3^y \equiv 1 \pmod{7}

Следовательно, x=3k y=6a

Отсюда : 1000×2^k-729×3^a=271 Очевидно , что только при k=a=1 есть ответ , следовательно x=3 y=6

пред. Правка 2   4
11 месяца 21 дней назад #