Областная олимпиада по математике, 2021 год, 10 класс

Найти все пары $(x,y)$ натуральных чисел, которые удовлетворяют уравнению $125 \cdot 2^x-3^y=271.$

Комментарий/решение

$Ответ: (3;6).$

Заметим что при $y=1$ решений нет, теперь можно считать $3^y$ делится на $9$. Рассмотрим остаток при делении на $9$, тогда из уравнении выходит что $2^{x+3}\equiv1 (mod 9)$, значит $x+3$ делится на $6$, $x=6k+3$. Теперь рассмотрим остаток при делении на 7, (так как $2^6-1$ делится на $7$) тогда $3^y \equiv 1 (mod 7)$, значит $y=6l$. Тогда правая часть уравнения представляет вид $a^3-b^3$ или $(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(5*2^{2k+1}-3^{2l})(25*2^{4k+2}+5*2^{2k+1}*3^{2l}+3^{4l})=271$, $271$ простое число, заметим обе скобки положительны и вторая скобка больше еденицы, ясно что $5*2^{2k+1}-3^{2l}=1$, далее вторая скобка приводится в вид: $1^2-3*5*2^{2k+1}*3^{2l}=271$, далее легко выходит что $k=0 $,$ l=1$ и ответ задачи.

Формула a^3-b^3 другая же

да, автор сделал ошибку в формуле, но использовал правильную формулу, заметьте

Можешь написать подробнее это решение, после того как получили две скобки как выходит последнее выражение

Либо я туплю либо не вижу дальше

Посмотрите решение этой задачи в 9 классе,там расписано подробнее.

Мне кажется он уже понял) то что я написал мне кажется очевидно, мне кажется примерно так нужно решать задачи, без воды, без показания очевидных не правильных вариантов. Я об этом писал подробнее в комментариях к задаче из юниорской Балканской олимпиады 2018, 2019 или 2020(не помню).

все еще помню твой коммент! матол для идей а не для полных решений)

we know $y$ is even and $x$ is odd ,$5\leq x $ ,$3^y\equiv 9,17,25,1 \pmod {32}$ and $271\equiv 15 \pmod {32}$ $\rightarrow$ $3^y\equiv17\pmod{32}$ so $y=4k+2$, $3^{4k+2}\equiv \pmod {32}$ ,$81^k*9 \equiv 25,9 \pmod {32}$ but $271\equiv 15 \pmod {32}$ so $x \leq4$ and we have only one answer is $x=3 ,y=6$

Обозначим данное уравнение за $(1)$.

Заметим, что при $y \leq 2$ решений нет, соответственно $ 27 \vert 3^y$.

Рассмотрим $(1) mod 27$, тогда $17*2^x \equiv 1 (mod 27) $ $(2)$. Простым перебором можно понять, что $2^x \equiv 8 mod 27$. Рассмотрим остатки степеней двойки по модулю 27. Заметим, что при $x \leq 7$ единственная подходящая степень - 3. При $x \geq 8$ же, возникает цикл остатков $mod 27$ ($2^8-2^{13}, 2^{13}-2^{19}, и.т.д)$, среди которых нет удовлетворяющих $(2)$. Отсюда получаем, что единственное возможное решение для $x$ это 3. Дальше легко понять, что единственным решением для $y$ будет 6.

Ответ: $(3,6)$

Поставим уравнение под модулем 7ми

$125×2^x-3^y \equiv 5 \pmod {7}$ $\Rightarrow$ Первый случай : $125×2^x \equiv 3 \pmod{7}$ отсюда $3^y \equiv 5 \pmod{7}$

Следовательно, $x=2+3l$ $y=5+6n$ $\Rightarrow$ $500×8^l-243×729^n=271$ , что невозможно

Второй случай : $125×2^x \equiv 6 \pmod{7}$ $3^y \equiv 1 \pmod{7}$

Следовательно, $x=3k$ $y=6a$

Отсюда : $1000×2^k-729×3^a=271$ Очевидно , что только при $k=a=1$ есть ответ , следовательно $x=3$ $y=6$