Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год

Есеп №1.

$\Gamma$ шеңбері —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер.

$BC$ қабырғасында

$D$ нүктесі белгіленген.

$\Gamma$ -ға

$A$ нүктесінде жүргізілген жанама

$D$ арқылы өтетін және

$BA$ -ға параллель түзуді

$E$ нүктесінде қияды.

$CE$ кесіндісі

$\Gamma$ -ны екінші рет

$F$ нүктесінде қисын. Егер

$B,$

$D,$

$F,$

$E$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатса, онда

$AC,$

$BF,$

$DE$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$r = 2$ саны келесі шартты қанағаттандыратын нақты

$r$ санының ең үлкен мәні екенін дәлелдеңіз:
Егер

$a_1, a_2, \ldots$ натурал сандар тізбегі үшін

$a_n\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$ теңсіздіктері барлық натурал

$n$ сандары үшін орындалса, онда барлық

$n\geq M$ үшін

$a_{n+2}=a_n$ болатындай

$M$ натурал саны табылады.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық натурал

$k$ санын табыңыз:
Әр натурал

$n > m$ санын

$S$ -тің әртүрлі элементтерінің қосындысы ретінде жазудың дәл

$k$ әдісі болатындай, натурал сандардан тұратын

$S$ жиыны және натурал

$m$ саны табылады.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Келесі шартты қанағаттандыратын коэффиценттері бүтін болатын барлық

$P(x)$ көпмүшелерін табыңыз: \\ Әр бүтін сан дәл бір рет кездесетін кез келген

$a_1 ,a_2 , \ldots$ шексіз бүтін сандар тізбегі үшін,

$a_i +a_{i+1} +\ldots +a_j = P(k)$ болатындай

$i < j$ индекстері және бүтін

$k$ саны табылады.
комментарий/решение(3)

Есеп №5.

$n\geq 3$ натурал саны берілген. Тақтаға 1 саны

$n$ рет жазылған. Тақтаның астында екі қорап тұр. Бастапқыда олар бос. Жүріс келесі қадамдардан тұрады: тақтадан екі

$a$ және

$b$ сандары өшіріледі, олардың орнына

$1$ және

$a+b$ сандары жазылады, сосын бірінші қорапқа бір тас, ал екінші қорапқа ЕҮОБ

$(a,b)$ тас салынады. Бірнеше жүрістен кейін бірінші қорапта

$s$ тас, екіншісінде

$t$ тас болған.

$\dfrac{t}{s}$ қатынасының барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
комментарий/решение(1)

результаты