Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год
Комментарий/решение:
Пусть $S$ $\in$ $DE$ $\cap$ $AC$ , $T$ $\in$ $BF$ $\cap$ $AC$ $\angle$$B$ $=$ $\alpha$, $\angle$$FBC$ $=$$\beta$.
$BDFE$$-$вписанный $\Rightarrow$ $\angle$$FBC$ $=$$\angle$$DEC$ $=$$\beta$ $(1)$.
$\angle$$ABF$ $=$$\alpha$ $-$ $\beta$$=$$\angle$$ACF$ $(2)$.
$(1)$,$(2)$ $\Rightarrow$ $\angle$$ASE$$=$$\alpha$$=$$\angle$$A$ $($ $AB$ $\parallel$ $DE$ $)$
$AE$$-$касательная $\Rightarrow$ $\angle$$B$ $=$$\angle$$EAC$ $=$$\alpha$
Из теоремы синусов для $\triangle$$BTA$ и $\triangle$$BTC$ получаем:
$\dfrac{AT}{TC}$$=$$\dfrac{AB}{BC}$$\cdot$$\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\beta)}$ $(3)$.
$\dfrac{AS}{SC}$$=$$\dfrac{AS}{SE}$$\cdot$$\dfrac{SE}{SC}$ $(4)$.
$\triangle$$SEC$: $\dfrac{SE}{SC}$$=$$\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\beta}$ $(5)$
$\triangle$$ABC$$\sim$$\triangle$$ASE$ $\Rightarrow$ $\dfrac{AS}{SE}$$=$$\dfrac{AB}{BC}$ $(6)$
Применяя $(5)$ и $(6)$ к $(4)$, получаем: $\dfrac{AS}{SC}$$=$$\dfrac{AB}{BC}$$\cdot$$\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\beta}$ $(7)$
Приравнивая правые части выражений $(3)$ и $(7)$ получаем $\dfrac{AS}{SC}$$=$$\dfrac{AT}{TC}$.
$S$ и $T$ делят сторону $AC$ в одном и том же отношении, следовательно они совпадают.
Значит, прямые $AC$, $BF$, $DE$ конкурентны $#$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.