Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год
Γ шеңбері — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. BC қабырғасында D нүктесі белгіленген. Γ-ға A нүктесінде жүргізілген жанама D арқылы өтетін және BA-ға параллель түзуді E нүктесінде қияды. CE кесіндісі Γ-ны екінші рет F нүктесінде қисын. Егер B, D, F, E нүктелері бір шеңбердің бойында жатса, онда AC, BF, DE түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть S ∈ DE ∩ AC , T ∈ BF ∩ AC ∠B = α, ∠FBC =β.
BDFE−вписанный ⇒ ∠FBC =∠DEC =β (1).
∠ABF =α − β=∠ACF (2).
(1),(2) ⇒ ∠ASE=α=∠A ( AB ∥ DE )
AE−касательная ⇒ ∠B =∠EAC =α
Из теоремы синусов для △BTA и △BTC получаем:
ATTC=ABBC⋅sin(α−β)sin(β) (3).
ASSC=ASSE⋅SESC (4).
△SEC: SESC=sin(α−β)sinβ (5)
△ABC∼△ASE ⇒ ASSE=ABBC (6)
Применяя (5) и (6) к (4), получаем: ASSC=ABBC⋅sin(α−β)sinβ (7)
Приравнивая правые части выражений (3) и (7) получаем ASSC=ATTC.
S и T делят сторону AC в одном и том же отношении, следовательно они совпадают.
Значит, прямые AC, BF, DE конкурентны #.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.