Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год


Γ шеңбері — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер. BC қабырғасында D нүктесі белгіленген. Γ-ға A нүктесінде жүргізілген жанама D арқылы өтетін және BA-ға параллель түзуді E нүктесінде қияды. CE кесіндісі Γ-ны екінші рет F нүктесінде қисын. Егер B, D, F, E нүктелері бір шеңбердің бойында жатса, онда AC, BF, DE түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
4 года 8 месяца назад #

Пусть S DE AC , T BF AC B = α, FBC =β.

BDFEвписанный FBC =DEC =β (1).

ABF =α β=ACF (2).

(1),(2) ASE=α=A ( AB DE )

AEкасательная B =EAC =α

Из теоремы синусов для BTA и BTC получаем:

ATTC=ABBCsin(αβ)sin(β) (3).

ASSC=ASSESESC (4).

SEC: SESC=sin(αβ)sinβ (5)

ABCASE ASSE=ABBC (6)

Применяя (5) и (6) к (4), получаем: ASSC=ABBCsin(αβ)sinβ (7)

Приравнивая правые части выражений (3) и (7) получаем ASSC=ATTC.

S и T делят сторону AC в одном и том же отношении, следовательно они совпадают.

Значит, прямые AC, BF, DE конкурентны #.

  7
3 года 1 месяца назад #

Из свойство касательной и параллельности получаем:EAC=ABC=EDC значит EADC-вписанный.Заметим что так как AC,BF,ED радикальные оси окружностей (ABC),(EADC),(BDFE) то они пересекаются в одной точке.