Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год

Задача №1.  Пусть $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Точка $D$ выбрана на стороне $BC$. Касательная к $\Gamma$, проведенная в точке $A$, пересекает прямую, параллельную $BA$, проведенную через $D$, в точке $E$. Отрезок $CE$ пересекает $\Gamma$ вторично в точке $F$. Докажите, что если точки $B,$ $D,$ $F,$ $E$ лежат на одной окружности, то прямые $AC,$ $BF,$ $DE$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Докажите, что число $r = 2$ является наибольшим вещественным числом $r$, удовлетворяющим следующему условию:
Если последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots$ удовлетворяет неравенствам $$a_n\leq a_{n+2}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$$ для всех натуральных $n$, то существует натуральное $M$ такое, что $a_{n+2}=a_n$ при всех $n\geq M$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Найдите все натуральные $k$, для которых существует натуральное $m$ и множество $S$, состоящее из натуральных чисел, такие, что каждое целое $n > m$ может быть представлено в виде суммы различных элементов из $S$ ровно $k$ способами.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Найдите все многочлены $P(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющие следующему условию:
Для любой бесконечной последовательности $a_1 ,a_2 , \ldots$ целых чисел, в которой каждое целое число встречается ровно один раз, существуют индексы $i < j$ и целое число $k$ такие, что выполнено равенство $a_i +a_{i+1} +\ldots +a_j = P(k)$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №5.  Дано натуральное число $n\geq 3$. Число 1 выписано $n$ раз на доске. Под доской стоят две коробки, изначально они пустые. Ход состоит в следующем: с доски стираются два числа $a$ и $b$, вместо них записываются числа $1$ и $a+b$, в первую коробку добавляют 1 камень, а во вторую коробку добавляют НОД$(a,b)$ камней. После нескольких ходов в первой коробке оказалось $s$ камней, а во второй коробке — $t$ камней. Найдите все возможные значения отношения $\dfrac{t}{s}$.
комментарий/решение(1)

---