Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2020 год

Пусть $\Gamma$ — описанная окружность треугольника $ABC$. Точка $D$ выбрана на стороне $BC$. Касательная к $\Gamma$, проведенная в точке $A$, пересекает прямую, параллельную $BA$, проведенную через $D$, в точке $E$. Отрезок $CE$ пересекает $\Gamma$ вторично в точке $F$. Докажите, что если точки $B,$ $D,$ $F,$ $E$ лежат на одной окружности, то прямые $AC,$ $BF,$ $DE$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Пусть $S$ $\in$ $DE$ $\cap$ $AC$ , $T$ $\in$ $BF$ $\cap$ $AC$ $\angle$$B$ $=$ $\alpha$, $\angle$$FBC$ $=$$\beta$.

$BDFE$$-$вписанный $\Rightarrow$ $\angle$$FBC$ $=$$\angle$$DEC$ $=$$\beta$ $(1)$.

$\angle$$ABF$ $=$$\alpha$ $-$ $\beta$$=$$\angle$$ACF$ $(2)$.

$(1)$,$(2)$ $\Rightarrow$ $\angle$$ASE$$=$$\alpha$$=$$\angle$$A$ $($ $AB$ $\parallel$ $DE$ $)$

$AE$$-$касательная $\Rightarrow$ $\angle$$B$ $=$$\angle$$EAC$ $=$$\alpha$

Из теоремы синусов для $\triangle$$BTA$ и $\triangle$$BTC$ получаем:

$\dfrac{AT}{TC}$$=$$\dfrac{AB}{BC}$$\cdot$$\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\beta)}$ $(3)$.

$\dfrac{AS}{SC}$$=$$\dfrac{AS}{SE}$$\cdot$$\dfrac{SE}{SC}$ $(4)$.

$\triangle$$SEC$: $\dfrac{SE}{SC}$$=$$\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\beta}$ $(5)$

$\triangle$$ABC$$\sim$$\triangle$$ASE$ $\Rightarrow$ $\dfrac{AS}{SE}$$=$$\dfrac{AB}{BC}$ $(6)$

Применяя $(5)$ и $(6)$ к $(4)$, получаем: $\dfrac{AS}{SC}$$=$$\dfrac{AB}{BC}$$\cdot$$\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\beta}$ $(7)$

Приравнивая правые части выражений $(3)$ и $(7)$ получаем $\dfrac{AS}{SC}$$=$$\dfrac{AT}{TC}$.

$S$ и $T$ делят сторону $AC$ в одном и том же отношении, следовательно они совпадают.

Значит, прямые $AC$, $BF$, $DE$ конкурентны $#$.

Из свойство касательной и параллельности получаем:$\angle EAC=\angle ABC=\angle EDC$ значит $EADC$-вписанный.Заметим что так как $AC,BF,ED$ радикальные оси окружностей $(ABC),(EADC),(BDFE)$ то они пересекаются в одной точке.