қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $BC$ гипотенузасының ортасы. $AC$ және $AB$ кесінділерінде $AE\cdot BE=AD\cdot CD$ болатындай сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелері табылған. $ME=MD$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Колледжде 300 студент оқиды. Әрбір екі студент өзара таныс, немесе өзара таныс емес. Бір-бірімен таныс үш студент жоқ екені белгілі. Әр студенттің $n$-нен көп танысы жоқ. Кез келген $m$ $(1\le m \le n)$ үшін дәл $m$ танысы бар студент табылатыны белгілі. Олай болса, $n$-нің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Коэффициенттері бүтін, дәрежесі 10-нан аспайтын $P(x)$ көпмүшесі берілген. Әрбір $k\in \{1,2,\ldots,10\}$ үшін $P(m)=k$ болатындай бүтін $m$ саны табылатыны белгілі. Егер $|P(10)-P(0)|<10000$ болса, әрбір $k\in \{1,2,\ldots,10000\}$ үшін $P(m)=k$ болатындай бүтін $m$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Әрқайсысының кемінде 11 бөлгіші бар $a$ және $b$ натурал сандары болсын. $a$ және $b$ сандарының бөлгіштерін өсу ретімен жазып, сәйкесінше $1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ және $1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$ (шекті) тізбектері алынды. Егер $a_{10}+b_{10}=a$ және $a_{11}+b_{11}=b$ екені белгілі болса, $a$ және $b$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Кез келген оң нақты $x$ және $y$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіз:
$\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{(x+1)(y+1)} < \frac{1}{11}$.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №6. $\omega$ шеңбері $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ төбелері арқылы өтіп, оның $BC$ және $AC$ кесінділерін сәйкесінше $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $BAD$ бұрышының биссектрисасы $\omega$-ны екінші рет $M$ нүктесінде қиып өтеді. $BD$ және $ME$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $K$ нүктесінен $AM$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $AC$ түзуін $N$ нүктесінде қисын. Онда $\angle BNK=\angle DNK$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)