Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Тікбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$BC$ гипотенузасының ортасы.

$AC$ және

$AB$ кесінділерінде

$AE\cdot BE=AD\cdot CD$ болатындай сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелері табылған.

$ME=MD$ теңдігін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Колледжде 300 студент оқиды. Әрбір екі студент өзара таныс, немесе өзара таныс емес. Бір-бірімен таныс үш студент жоқ екені белгілі. Әр студенттің

$n$ -нен көп танысы жоқ. Кез келген

$m$

$(1\le m \le n)$ үшін дәл

$m$ танысы бар студент табылатыны белгілі. Олай болса,

$n$ -нің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Коэффициенттері бүтін, дәрежесі 10-нан аспайтын

$P(x)$ көпмүшесі берілген. Әрбір

$k\in \{1,2,\ldots,10\}$ үшін

$P(m)=k$ болатындай бүтін

$m$ саны табылатыны белгілі. Егер

$|P(10)-P(0)|<10000$ болса, әрбір

$k\in \{1,2,\ldots,10000\}$ үшін

$P(m)=k$ болатындай бүтін

$m$ саны табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Әрқайсысының кемінде 11 бөлгіші бар

$a$ және

$b$ натурал сандары болсын.

$a$ және

$b$ сандарының бөлгіштерін өсу ретімен жазып, сәйкесінше

$1=a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ және

$1= b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$ (шекті) тізбектері алынды. Егер

$a_{10}+b_{10}=a$ және

$a_{11}+b_{11}=b$ екені белгілі болса,

$a$ және

$b$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Кез келген оң нақты

$x$ және

$y$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{(x+1)(y+1)} < \frac{1}{11}$ .
комментарий/решение(6)

Есеп №6.

$\omega$ шеңбері

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$B$ төбелері арқылы өтіп, оның

$BC$ және

$AC$ кесінділерін сәйкесінше

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды.

$BAD$ бұрышының биссектрисасы

$\omega$ -ны екінші рет

$M$ нүктесінде қиып өтеді.

$BD$ және

$ME$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$K$ нүктесінен

$AM$ түзуіне түсірілген перпендикуляр

$AC$ түзуін

$N$ нүктесінде қисын. Онда

$\angle BNK=\angle DNK$ болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(5)