Областная олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $BC.$ На отрезках $AC$ и $AB$ нашлись соответственно точки $D$ и $E$ такие, что $AE\cdot BE=AD\cdot CD.$ Докажите, что $ME=MD.$

Комментарий/решение

Пусть $E’$ симметричная точка к $E$ относительно $M$, тогда $E’C=BE$ ($BEE’C$) параллелограмм, тогда $E’CD, AED$ подобны (по прямому углу и соотношению из условия) откуда $EE’D$ прямоугольный $DM$ медиана, значит $EM=DM$.

Рассмотрим окружность $\omega,$ описанную около треугольника $ABC.$ Заметим что $M$ центр этой окружности. Более того, точки $D$ и $E$ лежат внутри этой окружности. Как известно, степень точки относительно окружности это разность квадрата расстояние от точки до центра и радиуса самой окружности. Вдобавок, для точек внутри окружности степень точки это произведение отрезков произвольной хорды, проходящей через данную точки, взятое со знаком минус. Таким образом, если $R$ радиус $\omega,$ а за $\deg(A,\omega)$ обозначим степень точки $A$ относительно $\omega,$ то $$-BE\cdot AE=\deg(E,\omega)=ME^2-R^2$$ $$-AD\cdot DC=\deg(D,\omega)=MD^2-R^2$$

А раз мы знаем, что $BE\cdot AE=AD\cdot DC,$ то $$ME^2-R^2=MD^2-R^2\Longrightarrow ME^2=MD^2\longrightarrow ME=MD$$

Заметим, что треугольник АВС вписан в окружность с центром М и с радиусом R = ВС/2

Из условия задачи понятно, что степени точек Е и D относительно этой окружности равны. Но с другой стороны степень точки Е равна R^2 - МЕ^2, а степень точки D равна R^2 - MD^2. Откуда и следует утверждение задачи.