Областная олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы BC. На отрезках AC и AB нашлись соответственно точки D и E такие, что AE⋅BE=AD⋅CD. Докажите, что ME=MD.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. В колледже учатся 300 студентов. Любые два студента либо знают друг друга, либо не знают друг друга, и нет трех студентов, знающих друг друга. Известно, что каждый студент знает не более n других студентов и для каждого m (1≤m≤n) существует студент, знающий ровно m других студентов. Найдите наибольшее возможное значение n.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть P(x) — многочлен степени n≤10 с целыми коэффициентами такой, что для каждого k∈{1,2,…,10} существует целое число m, что P(m)=k. Докажите, что если |P(10)−P(0)|<10000, то для любого k∈{1,2,…,10000} существует целое число m такое, что P(m)=k.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть каждое из натуральных чисел a и b имеют не менее 11 делителей. Выписав делителей a и b в порядке возрастания, соответственно получили (конечные) последовательности 1=a1<a2<a3<… и 1=b1<b2<b3<…. Найдите числа a и b, если известно, что a10+b10=a и a11+b11=b.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Для любых положительных вещественных чисел x и y докажите неравенство:
1x+y+1−1(x+1)(y+1)<111.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №6. В треугольнике ABC окружность ω проходит через точки A и B и пересекает отрезки BC и AC соответственно в точках D и E. Биссектриса угла BAD во второй раз пересекает ω в точке M, а прямые BD и ME пересекаются в точке K. Пусть перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую AM, пересекает прямую AC в точке N. Докажите, что ∠BNK=∠DNK.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)