Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып
Комментарий/решение:
Решение: Обозначим a=x+1,b=y+1. Для a>1,b>1 имеем неравенство
1a+b−1−1ab<111
1a+b−1−1ab≤12√ab−1−1ab<111⇔
⇔(√ab−1)2ab(2√ab−1)<111
Обозначим √ab=t>1 и неравенство имеет следующий вид:
(t−1)2t2(2t−1)<111
Так как t2(2t−1)>1 , то умножим обе части неравенства на это выражение
11(t−1)2<t2(2t−1)⇔2t3−12t2+22t−11>0
2t3−12t2+22t−11=2(t−1)(t−2)(t−3)+1>0
Давайте раскроем:
(!) x2y+xy2+2(x+y)+x2+y2+1>8xy., ⇒ (!) x2(y+1)+x(y2−8y+2)+(y+1)2>0.
Легко удостовериться что если y2−8y+2>0 то все условия выполняется, значит, осталось разобраться со случаем когда y∈[4−√14, 4+√14]. Давайте посчитаем дискриминант данной функции, если он будет отрицательным на этом интервале, то функция будет не иметь корней. А так как если квадратная положительная функция не будет иметь корней, она всегда будет положительной.
D=(y2−8y+2)2−4(y+1)3=y4−20y3+56y2−44y=y(y3−20y2+56y−44).
Очевидно что в y(y3−20y2+56y−44) y будет положительным на данном интервале, тогда попробуем доказать что f(x)=y3−20y2+56y−44 будет отрицательным на данном интервале. Дифференцируем данную функцию: f′(x)=3y2−40y+56, корни этой функции равны y1=20−2√613 и y2=20+2√613, эти точки являются локальным экстримом функции. Соответственно f(x) будет: (−∞,y1) Расти, (y1,y2) Падать, (y2,∞) Расти. Заметим что, f(x) на втором интервале будет меньше нуля (подставьте y1, это максимальное значение функции на этом интервале ибо она тут строго падает). Так же, в (0,y1) она отрицательная (ибо до y1 функция растет и все равно не достигает положительного значения в y1). А ещё y2=20+2√613>4+√14, значит тот интервал который мы рассматривали в самом начале входит в интервал (0,20+2√613) где f(x) является отрицательным.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.