Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып


Кез келген оң нақты x және y сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңіз: 1x+y+11(x+1)(y+1)<111.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
5 года 3 месяца назад #

x+y=1=a,  (x+1)(y+1)=b тогда a+xy=b откуда bay+y+1=a и учитывая ограничение по D0 выходит ab(a+1)24

Пусть b1b Тогда 1a1b1a1b1 тогда взяв b1=(a+1)24 или f(a)=1a4(a+1)2

f(a)=(1a)(a24a1)a2(a+1)3

откуда a=2+5 достигает максимума, который S<111.

пред. Правка 2   2
5 года назад #

a=x+y>0 болсын.

(xy)20xy(x+y)24=a24

(x+1)(y+1)=xy+x+y+1a24+a+1

Сондықтан, 1a+14a2+4a+4<111    a36a2+8a+4>0 теңсіздігін дәлелдеу жеткілікті.

Eгер a<4 болса, онда a36a2+8a+4>a36a2+9a=a(a3)20

Егер a4 болса, онда a36a2+8a+4>a36a2+8a=a(a2)(a4)0

  0
4 года 10 месяца назад #

Решение: Обозначим a=x+1,b=y+1. Для a>1,b>1 имеем неравенство

1a+b11ab<111

1a+b11ab12ab11ab<111

(ab1)2ab(2ab1)<111

Обозначим ab=t>1 и неравенство имеет следующий вид:

(t1)2t2(2t1)<111

Так как t2(2t1)>1 , то умножим обе части неравенства на это выражение

11(t1)2<t2(2t1)2t312t2+22t11>0

2t312t2+22t11=2(t1)(t2)(t3)+1>0

пред. Правка 5   1
1 года 6 месяца назад #

Давайте раскроем:

(!) x2y+xy2+2(x+y)+x2+y2+1>8xy.,  (!) x2(y+1)+x(y28y+2)+(y+1)2>0.

Легко удостовериться что если y28y+2>0 то все условия выполняется, значит, осталось разобраться со случаем когда y[414, 4+14]. Давайте посчитаем дискриминант данной функции, если он будет отрицательным на этом интервале, то функция будет не иметь корней. А так как если квадратная положительная функция не будет иметь корней, она всегда будет положительной.

D=(y28y+2)24(y+1)3=y420y3+56y244y=y(y320y2+56y44).

Очевидно что в y(y320y2+56y44) y будет положительным на данном интервале, тогда попробуем доказать что f(x)=y320y2+56y44 будет отрицательным на данном интервале. Дифференцируем данную функцию: f(x)=3y240y+56, корни этой функции равны y1=202613 и y2=20+2613, эти точки являются локальным экстримом функции. Соответственно f(x) будет: (,y1) Расти, (y1,y2) Падать, (y2,) Расти. Заметим что, f(x) на втором интервале будет меньше нуля (подставьте y1, это максимальное значение функции на этом интервале ибо она тут строго падает). Так же, в (0,y1) она отрицательная (ибо до y1 функция растет и все равно не достигает положительного значения в y1). А ещё y2=20+2613>4+14, значит тот интервал который мы рассматривали в самом начале входит в интервал (0,20+2613) где f(x) является отрицательным.

  0
1 года 6 месяца назад #

Решение рофл, решение не правда

пред. Правка 2   0
1 года 6 месяца назад #

ахаххахха я считать не умею)