Областная олимпиада по математике, 2020 год, 11 класс

Для любых положительных вещественных чисел $x$ и $y$ докажите неравенство: $\dfrac{1}{x+y+1}-\dfrac{1}{(x+1)(y+1)} < \dfrac{1}{11}$.

Комментарий/решение

$x+y=1=a, \ \ (x+1)(y+1)=b$ тогда $a+xy=b$ откуда $\dfrac{b-a}{y}+y+1=a$ и учитывая ограничение по $D \geq 0$ выходит $a \leq b \leq \dfrac{(a+1)^2}{4}$

Пусть $b_{1} \geq b$ Тогда $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b_{1}}$ тогда взяв $b_{1}=\dfrac{(a+1)^2}{4}$ или $f(a)=\dfrac{1}{a}- \dfrac{4}{(a+1)^2}$

$f’(a)=\dfrac{(1-a)(a^2-4a-1)}{a^2(a+1)^3}$

откуда $a=2+\sqrt{5}$ достигает максимума, который $S<\dfrac{1}{11}$.

$a=x+y>0$ болсын.

$(x-y)^2\ge 0 \Rightarrow xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{a^2}{4}$

$ (x+1)(y+1)=xy+x+y+1\le \frac{a^2}{4}+a+1$

Сондықтан, $\frac{1}{a+1}-\frac{4}{a^2+4a+4}<\frac{1}{11} \ \ \Leftarrow \ \ a^3 - 6 a^2 + 8 a + 4>0$ теңсіздігін дәлелдеу жеткілікті.

Eгер $a< 4$ болса, онда $ a^3 - 6 a^2 + 8 a + 4> a^3 - 6 a^2 +9a=a(a-3)^2\ge 0$

Егер $a\ge 4$ болса, онда $ a^3 - 6 a^2 + 8 a + 4>a^3 - 6 a^2 + 8 a=a(a-2)(a-4)\ge 0$

$\textbf{Решение:} $ Обозначим $a=x+1,\quad b=y+1$. Для $a>1,\quad b>1$ имеем неравенство

$$\frac{1}{a+b-1}-\frac{1}{ab}<\frac{1}{11} $$

$$\frac{1}{a+b-1}-\frac{1}{ab}\leq\frac{1}{2\sqrt {ab}-1}-\frac {1}{ab}<\frac{1}{11} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{ab}-1)^2}{ab (2\sqrt{ab}-1)}<\frac{1}{11} $$

Обозначим $\sqrt {ab}=t>1$ и неравенство имеет следующий вид:

$$\frac{(t-1)^2}{t^2 (2t-1)}<\frac{1}{11} $$

Так как $t^2 (2t-1)>1$ , то умножим обе части неравенства на это выражение

$$11(t-1)^2<t^2 (2t-1)\Leftrightarrow 2t^3-12t^2+22t-11>0$$

$$2t^3-12t^2+22t-11=2(t-1)(t-2)(t-3)+1>0$$

Давайте раскроем:

$$(!) \ x^2y+xy^2+2(x+y)+x^2+y^2+1 > 8xy.,$$ $$\Rightarrow \ (!) \ x^2 (y + 1) + x (y^2 - 8 y + 2) + (y + 1)^2 > 0.$$

Легко удостовериться что если $y^2-8y+2 >0$ то все условия выполняется, значит, осталось разобраться со случаем когда $y \in [4-\sqrt{14}, \ 4+\sqrt{14}]$. Давайте посчитаем дискриминант данной функции, если он будет отрицательным на этом интервале, то функция будет не иметь корней. А так как если квадратная положительная функция не будет иметь корней, она всегда будет положительной.

$$D=(y^2-8y+2)^2-4(y+1)^3=y^4 - 20 y^3 + 56 y^2 - 44 y= y (y^3 - 20 y^2 + 56 y - 44).$$

Очевидно что в $y (y^3 - 20 y^2 + 56 y - 44)$ $y$ будет положительным на данном интервале, тогда попробуем доказать что $f(x)=y^3 - 20 y^2 + 56 y - 44$ будет отрицательным на данном интервале. Дифференцируем данную функцию: $f'(x)=3y^2-40y+56$, корни этой функции равны $y_1 = \frac{20 - 2 \sqrt{61}}{3}$ и $y_2 = \frac{20 + 2 \sqrt{61}}{3}$, эти точки являются локальным экстримом функции. Соответственно $f(x)$ будет: $$(- \infty, y_1) \ \text{Расти},$$ $$(y_1, y_2) \ \text{Падать},$$ $$(y_2, \infty) \ \text{Расти}.$$ Заметим что, $f(x)$ на втором интервале будет меньше нуля (подставьте $y_1$, это максимальное значение функции на этом интервале ибо она тут строго падает). Так же, в $(0, y_1)$ она отрицательная (ибо до $y_1$ функция растет и все равно не достигает положительного значения в $y_1$). А ещё $y_2=\frac{20 + 2 \sqrt{61}}{3} > 4+\sqrt{14}$, значит тот интервал который мы рассматривали в самом начале входит в интервал $(0, \frac{20 + 2 \sqrt{61}}{3})$ где $f(x)$ является отрицательным.

Решение рофл, решение не правда

ахаххахха я считать не умею)