Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып
Комментарий/решение:
Рассмотрим окружность ω, описанную около треугольника ABC. Заметим что M центр этой окружности. Более того, точки D и E лежат внутри этой окружности. Как известно, степень точки относительно окружности это разность квадрата расстояние от точки до центра и радиуса самой окружности. Вдобавок, для точек внутри окружности степень точки это произведение отрезков произвольной хорды, проходящей через данную точки, взятое со знаком минус. Таким образом, если R радиус ω, а за deg(A,ω) обозначим степень точки A относительно ω, то −BE⋅AE=deg(E,ω)=ME2−R2 −AD⋅DC=deg(D,ω)=MD2−R2
А раз мы знаем, что BE⋅AE=AD⋅DC, то ME2−R2=MD2−R2⟹ME2=MD2⟶ME=MD
Заметим, что треугольник АВС вписан в окружность с центром М и с радиусом R = ВС/2
Из условия задачи понятно, что степени точек Е и D относительно этой окружности равны. Но с другой стороны степень точки Е равна R^2 - МЕ^2, а степень точки D равна R^2 - MD^2. Откуда и следует утверждение задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.