Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2020 жыл, 11 сынып


Тікбұрышты ABC үшбұрышында M нүктесі — BC гипотенузасының ортасы. AC және AB кесінділерінде AEBE=ADCD болатындай сәйкесінше D және E нүктелері табылған. ME=MD теңдігін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
3 года 1 месяца назад #

Пусть E симметричная точка к E относительно M, тогда EC=BE (BEEC) параллелограмм, тогда ECD,AED подобны (по прямому углу и соотношению из условия) откуда EED прямоугольный DM медиана, значит EM=DM.

  -1
5 года 1 месяца назад #

Рассмотрим окружность ω, описанную около треугольника ABC. Заметим что M центр этой окружности. Более того, точки D и E лежат внутри этой окружности. Как известно, степень точки относительно окружности это разность квадрата расстояние от точки до центра и радиуса самой окружности. Вдобавок, для точек внутри окружности степень точки это произведение отрезков произвольной хорды, проходящей через данную точки, взятое со знаком минус. Таким образом, если R радиус ω, а за deg(A,ω) обозначим степень точки A относительно ω, то BEAE=deg(E,ω)=ME2R2 ADDC=deg(D,ω)=MD2R2

А раз мы знаем, что BEAE=ADDC, то ME2R2=MD2R2ME2=MD2ME=MD

пред. Правка 3   2
3 месяца 24 дней назад #

Заметим, что треугольник АВС вписан в окружность с центром М и с радиусом R = ВС/2

Из условия задачи понятно, что степени точек Е и D относительно этой окружности равны. Но с другой стороны степень точки Е равна R^2 - МЕ^2, а степень точки D равна R^2 - MD^2. Откуда и следует утверждение задачи.