Математикадан аудандық олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Коэффициенттері бүтін бір

$P(x,y)$ көпмүшесі үшін

$a^{2019}+b^{2019}=P(a+b,ab)$ екені белгілі. Осы көпмүшенің коэффициенттерінің қосындысын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында

$H$ — ортоцентр, ал

$D$ және

$E$ нүктелері — сәйкесінше

$B$ және

$C$ төбелерінен түсірілген биіктіктердің табандары. Диаметрі

$DE$ болатын шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын тағы бір рет сәйкесінше

$F$ және

$G$ нүктелерінде қияды.

$FG$ және

$AH$ кесінділері

$K$ нүктесінде қиылысады. Егер

$BC=25,$

$BD=20$ және

$BE=7$ болса,

$AK$ кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$x^2+y^2+z^2=2019$ теңдеуінің барлық натурал сан шешімдерін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$BD$ диагоналынан және оның (

$B$ нүктесінен ары қарайғы) созындысынан,

$\angle DAE=\angle BCF$ болатындай етіп, сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелері алынған. Олай болса,

$\angle DCE=\angle FAB$ болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Оң нақты сандардың

$\{a_i\}$ тізбегі мына шарттарды қанағаттандырады:

$a_1+a_2=2019$ және

$n=2,3,4,\ldots$ үшін

$a_{n-1}\cdot a_{n+1}=a_n.$ Олай болса,

$a_{2020}+a_{2021}$ қосындысының ең кіші мүмкін мәнін анықтаңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Өлшемі

$16\times 16$ тіктөртбұрыш кесте 0 мен 1 сандарымен толтырылған. Кез келген екі баған алсақ, осы бағандардан тең элементтер жазылған қатарлардың саны 9-дан кем. Кестедегі 0-дердің саны 160-тан аспайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)