Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс

Последовательность положительных действительных чисел $\{a_i\}$ удовлетворяет следующим условиям: $a_1+a_2=2019$ и $a_{n-1}a_{n+1}=a_n$, для $n=2,3,4,\ldots.$ Определите минимально возможное значение суммы $a_{2020}+a_{2021}.$

Комментарий/решение

Выражая

$a_{3}=\dfrac{a_{2}}{2019-a_{2}}, \ a_{4} = \dfrac{1}{2019-a_{2}} , \ a_{5} = \dfrac{1}{a_{2}}, \ a_{6} = \dfrac{2019-a_{2}}{a_{2}} , \ a_{7} = 2019-a_{2}, \ a_{8}=a_{2}$

Периодическая система условия с периодом $T=6$, тогда $a+Tx=2020$ где $3 \leq a \leq 8$ и $x$-целое, подходит $a=4$, аналогично $b+Ty=2021$ подходит $b=5$ то есть это $a_{4}=a_{2020} = \dfrac{1}{2019-a_{2}}, \ a_{5} = a_{2021} = \dfrac{1}{a_{2}}$ значит $\dfrac{1}{2019-a_{2}} + \dfrac{1}{a_{2}} = \dfrac{2019}{a_{2} (2019-a_{2})}$

$f(a_{2})' = \dfrac{2019(2a_{2} - 2019)}{a_{2}^2(2019-a_{2})^2}$ откуда $a_{2}=\dfrac{2019}{2}$ проверяя на минимальность, $a_{2}$ подходит, при $a_{2}=\dfrac{2019}{2}$ минимум функции $f_{min} = \dfrac{4}{2019}$

Из условия $a_{n-1}a_{n+1}=a_n$ получаем, что $a_{n+1}= \dfrac{a_n}{a_{n-1}}$.

$a_3=\dfrac{a_2}{a_1}$;

$a_4= \dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{\dfrac{a_2}{a_1}}{a_2}=\dfrac{1}{a_1}$;

$a_5=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{\dfrac{1}{a_1}}{\dfrac{a_2}{a_1}}=\dfrac{1}{a_2}$;

$a_6=\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{\dfrac{1}{a_2}}{\dfrac{1}{a_1}}=\dfrac{a_1}{a_2}$;

$a_7=\dfrac{a_6}{a_5}=\dfrac{\dfrac{a_1}{a_2}}{\dfrac{1}{a_2}}=a_1$;

$a_8=\dfrac{a_7}{a_6}=\dfrac{a_1}{\dfrac{a_1}{a_2}}=a_2$;

Так как все члены последовательности периодически повторяется, получаем, что $a_{2020}+a_{2021}=a_4+a_5=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{a_1+a_2}{a_1a_2}=\dfrac{2019}{a_1a_2}$.

Используя неравенство $a_1a_2\leq\left(\dfrac{a_1+a_2}{2}\right)^2$ получаем, что

$\dfrac{2019}{a_1a_2}\geq\dfrac{2019}{\left(\dfrac{a_1+a_2}{2}\right)^2}=\dfrac{4}{2019}$.

Так как мы ищем минимальную возможную сумму, ответом будет $\dfrac{4}{2019}$

Ответ:$\dfrac{4}{2019}$