Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Известно, что a2019+b2019=P(a+b,ab) для некоторого многочлена P(x,y) с целыми коэффициентами. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC, точки D и E — основания высот, проведенных соответственно из вершин B и C. Окружность с диаметром DE пересекает стороны AB и AC еще раз соответственно в точках F и G. Отрезки FG и AH пересекаются в точке K. Если BC=25, BD=20 и BE=7, то найдите длину отрезка AK.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На диагонали DB вписанного четырехугольника ABCD и на ее продолжении (за точку B) выбраны соответственно точки E и F так, чтобы ∠DAE=∠BCF. Тогда
докажите, что ∠DCE=∠FAB.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Последовательность положительных действительных чисел {ai} удовлетворяет следующим условиям: a1+a2=2019 и an−1an+1=an, для n=2,3,4,…. Определите минимально возможное значение суммы a2020+a2021.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Прямоугольная таблица 16×16 заполнена числами 0 и 1. Если выбрать любые два столбца, то количество совпадений их чисел, написанных на одинаковых строках, меньше 9. Докажите, что количество 0-ей в таблице не превосходит 160.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)