қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Известно, что $a^{2019}+b^{2019}=P(a+b,ab)$ для некоторого многочлена $P(x,y)$ с целыми коэффициентами. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. $H$ — ортоцентр остроугольного треугольника $ABC,$ точки $D$ и $E$ — основания высот, проведенных соответственно из вершин $B$ и $C$. Окружность с диаметром $DE$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ еще раз соответственно в точках $F$ и $G.$ Отрезки $FG$ и $AH$ пересекаются в точке $K.$ Если $BC = 25,$ $BD = 20$ и $BE = 7,$ то найдите длину отрезка $AK.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все решения уравнения $x^2+y^2+z^2=2019$ в натуральных числах.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На диагонали $DB$ вписанного четырехугольника $ABCD$ и на ее продолжении (за точку $B$) выбраны соответственно точки $E$ и $F$ так, чтобы $\angle DAE=\angle BCF$. Тогда
докажите, что $\angle DCE=\angle FAB$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Последовательность положительных действительных чисел $\{a_i\}$ удовлетворяет следующим условиям: $a_1+a_2=2019$ и $a_{n-1}a_{n+1}=a_n$, для $n=2,3,4,\ldots.$ Определите минимально возможное значение суммы $a_{2020}+a_{2021}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Прямоугольная таблица $16 \times 16$ заполнена числами 0 и 1. Если выбрать любые два столбца, то количество совпадений их чисел, написанных на одинаковых строках, меньше 9. Докажите, что количество 0-ей в таблице не превосходит 160.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)