Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс

Найдите все решения уравнения $x^2+y^2+z^2=2019$ в натуральных числах.

Комментарий/решение

Положим $x \geq y \geq z$, тогда $x \geq 26$, так как иначе $x^2+y^2+z^2 < 2019$.

Также заметим, что $x \leq 44$, так как иначе $x^2+y^2+z^2 > 2019$.

Заметим, что 2019 кратно 3, а значит и левая часть делится на 3.

По малой теореме Ферма

$a^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$,

отсюда либо $x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 0\pmod3 $, либо $x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 1\pmod3$.

Но если $x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 0\pmod3 $ то $x^2+y^2+z^2 \equiv 0\pmod9$.

Это в свою очередь означает, что 2019 делится на 9, что неверно. То есть ни $x$, ни $y$, ни $z$ не кратны 3.

В правой части - число нечетное, а значит в левой либо сумма трех нечетных, либо двух четных и одного нечетного.

Допустим, что у нас два четных и одно нечетное. Заменим $x=2a$, $y=2b$, $z=2c+1$, $a,b,c \in N$ тогда:

$4a^2+4b^2+4c^2+4c+1=2019$.

$a^2+b^2+c^2+c=504,5$. Слева - целое, а справа - дробное. Противоречие.

Значит, имеем три нечетных в левой части исходного уравнения.

Рассмотрим последние цифры квадратов:

$0,1,4,5,6,9$.

Исходя из наших ограничений, остаются

$1,5,9$.

Такие последние цифры квадратов дают числа, оканчивающиеся на

$1,3,5,7,9$.

Учитывая всё выше перечисленное, возможных вариантов $x$ остаётся 6:

$29,31,35,37,41,43$.

Рассмотрев отдельно каждый случай, имеем:

$y^2+z^2=1178$,

$y^2+z^2=1058$,

$y^2+z^2=794$,

$y^2+z^2=650$,

$y^2+z^2=338$,

$y^2+z^2=170$.

Откуда, пользуясь всё теми же ограничениями:

$x=31, y=23,z=23$,

$x=35, y=25,z=13$,

$x=37, y=25,z=5$,

$x=37, y=23,z=11$,

$x=37, y=19,z=17$,

$x=41, y=13,z=13$,

$x=41, y=17,z=9$,

$x=43, y=13,z=1$,

$x=43, y=11,z=7$.

Ответ: $(43,11,7);(43,13,1);(41,17,9);(41,13,13);(37,25,5);(37,23,11);(37,19,17);(35,25,13);(31,23,23).$