Processing math: 14%

Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс


Найдите все решения уравнения x2+y2+z2=2019 в натуральных числах.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
5 года 4 месяца назад #

Положим xyz, тогда x26, так как иначе x2+y2+z2<2019.

Также заметим, что x44, так как иначе x2+y2+z2>2019.

Заметим, что 2019 кратно 3, а значит и левая часть делится на 3.

По малой теореме Ферма

a^2 \equiv 0,1 \pmod{3},

отсюда либо x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 0\pmod3 , либо x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 1\pmod3.

Но если x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 0\pmod3 то x^2+y^2+z^2 \equiv 0\pmod9.

Это в свою очередь означает, что 2019 делится на 9, что неверно. То есть ни x, ни y, ни z не кратны 3.

В правой части - число нечетное, а значит в левой либо сумма трех нечетных, либо двух четных и одного нечетного.

Допустим, что у нас два четных и одно нечетное. Заменим x=2a, y=2b, z=2c+1, a,b,c \in N тогда:

4a^2+4b^2+4c^2+4c+1=2019.

a^2+b^2+c^2+c=504,5. Слева - целое, а справа - дробное. Противоречие.

Значит, имеем три нечетных в левой части исходного уравнения.

Рассмотрим последние цифры квадратов:

0,1,4,5,6,9.

Исходя из наших ограничений, остаются

1,5,9.

Такие последние цифры квадратов дают числа, оканчивающиеся на

1,3,5,7,9.

Учитывая всё выше перечисленное, возможных вариантов x остаётся 6:

29,31,35,37,41,43.

Рассмотрев отдельно каждый случай, имеем:

y^2+z^2=1178,

y^2+z^2=1058,

y^2+z^2=794,

y^2+z^2=650,

y^2+z^2=338,

y^2+z^2=170.

Откуда, пользуясь всё теми же ограничениями:

x=31, y=23,z=23,

x=35, y=25,z=13,

x=37, y=25,z=5,

x=37, y=23,z=11,

x=37, y=19,z=17,

x=41, y=13,z=13,

x=41, y=17,z=9,

x=43, y=13,z=1,

x=43, y=11,z=7.

Ответ: (43,11,7);(43,13,1);(41,17,9);(41,13,13);(37,25,5);(37,23,11);(37,19,17);(35,25,13);(31,23,23).