Районная олимпиада, 2019-2020 учебный год, 11 класс
Комментарий/решение:
Положим x≥y≥z, тогда x≥26, так как иначе x2+y2+z2<2019.
Также заметим, что x≤44, так как иначе x2+y2+z2>2019.
Заметим, что 2019 кратно 3, а значит и левая часть делится на 3.
По малой теореме Ферма
a^2 \equiv 0,1 \pmod{3},
отсюда либо x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 0\pmod3 , либо x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 1\pmod3.
Но если x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 0\pmod3 то x^2+y^2+z^2 \equiv 0\pmod9.
Это в свою очередь означает, что 2019 делится на 9, что неверно. То есть ни x, ни y, ни z не кратны 3.
В правой части - число нечетное, а значит в левой либо сумма трех нечетных, либо двух четных и одного нечетного.
Допустим, что у нас два четных и одно нечетное. Заменим x=2a, y=2b, z=2c+1, a,b,c \in N тогда:
4a^2+4b^2+4c^2+4c+1=2019.
a^2+b^2+c^2+c=504,5. Слева - целое, а справа - дробное. Противоречие.
Значит, имеем три нечетных в левой части исходного уравнения.
Рассмотрим последние цифры квадратов:
0,1,4,5,6,9.
Исходя из наших ограничений, остаются
1,5,9.
Такие последние цифры квадратов дают числа, оканчивающиеся на
1,3,5,7,9.
Учитывая всё выше перечисленное, возможных вариантов x остаётся 6:
29,31,35,37,41,43.
Рассмотрев отдельно каждый случай, имеем:
y^2+z^2=1178,
y^2+z^2=1058,
y^2+z^2=794,
y^2+z^2=650,
y^2+z^2=338,
y^2+z^2=170.
Откуда, пользуясь всё теми же ограничениями:
x=31, y=23,z=23,
x=35, y=25,z=13,
x=37, y=25,z=5,
x=37, y=23,z=11,
x=37, y=19,z=17,
x=41, y=13,z=13,
x=41, y=17,z=9,
x=43, y=13,z=1,
x=43, y=11,z=7.
Ответ: (43,11,7);(43,13,1);(41,17,9);(41,13,13);(37,25,5);(37,23,11);(37,19,17);(35,25,13);(31,23,23).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.