5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 9-10 классы

Задача №1. Фигура на рисунке состоит из трех прямоугольников. Возле некоторых из отрезков подписаны их длины. Найдите длину отрезка

$XY$ .

комментарий/решение(2)

Задача №2. Диагонали

$AC$ и

$BD$ выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ . Известно, что

$\angle DAC = 90^\circ$ и

$2\angle ADB = \angle ACB$ . Докажите, что если

$\angle DBC + 2\angle ADC = 180^\circ$ , то

$2AP = BP$ .
комментарий/решение(6)

Задача №3. Окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ с центрами

$O_1$ и

$O_2$ соответственно пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Прямая

$O_1B$ вторично пересекает окружность

$\omega_2$ в точке

$C$ , прямая

$O_2A$ вторично пересекает окружность

$\omega_1$ в точке

$D$ . Пусть

$X$ — вторая точка пересечения

$AC$ и

$\omega_1$ , а

$Y$ — вторая точка пересечения

$BD$ и

$\omega_2$ . Докажите, что

$CX = DY$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Дан многогранник с треугольными гранями. Пусть

$P$ — произвольная точка, лежащая на его ребре, причем

$P$ не совпадает ни с серединой, ни с концами этого ребра. Положим

$P_0=P$ . На каждом шаге точка

$P_i$ соединяется с центром масс одной из двух граней, содержащих точку

$P_i$ . Через

$P_{i+1}$ обозначим вторую точку пересечения полученной прямой с границей этой грани. Продолжим этот процесс для точки

$P_{i+1}$ и другой грани, содержащей

$P_{i+1}$ . Докажите, что, действуя подобным образом, пересечь все грани многогранника не удастся. (Центр масс треугольника — это точка пересечения его медиан.)
комментарий/решение

Задача №5. Про параллелограмм

$ABCD$ известно, что

$\angle DAC = 90^\circ$ . Пусть

$H$ — основание перпендикуляра, опущенного из

$A$ на

$DC$ ,

$P$ — такая точка на прямой

$AC$ , что прямая

$PD$ касается описанной окружности треугольника

$ABD$ . Докажите, что

$\angle PBA = \angle DBH$ .
комментарий/решение(3)