5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 9-10 классы

Фигура на рисунке состоит из трех прямоугольников. Возле некоторых из отрезков подписаны их длины. Найдите длину отрезка $XY$.

Комментарий/решение

Найдёшь что углы 45 градусов и XY=4корней из2

Ответ:$\frac{9}{2}\sqrt{2}$

Удлиним стороны так как показано на рисунке, а так обозначим так как показано на рисунке.

Тогда $AB=BC=10$ следовательно $\angle BAC=\angle BCA=45\circ$. Дальше по теореме Пифагора следуют равенства $AD=2\sqrt{2}$, $DX=\sqrt{2}$, $CE=2\sqrt{2}$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Зная все это получим:

$$XY=AC-AX-CY=AC-(AD+DX)-(CE+CY)=10\sqrt{2}-5\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}$$