5-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2018 год, первая лига, 9-10 классы

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно пересекаются в точках $A$ и $B$. Прямая $O_1B$ вторично пересекает окружность $\omega_2$ в точке $C$, прямая $O_2A$ вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $D$. Пусть $X$ — вторая точка пересечения $AC$ и $\omega_1$, а $Y$ — вторая точка пересечения $BD$ и $\omega_2$. Докажите, что $CX = DY$.

Комментарий/решение

$E \in CB \cap \omega_{1}$ проведем параллельно $AE$ прямую $l$ проходящую через $B$ пусть $H \in AE \cap \omega_{2}$ и $F \in l \cap \omega_{2}$ тогда $ABFH$ прямоугольник, откуда $\angle EBD = \angle DAE = \angle FAH = \angle BFA = \angle BYA$ аналогично $\angle DBX = \angle AEB$ откуда сложив углы получаем $\angle YDX = \angle YCX = \angle 90^{\circ} - XAE$ и $ \angle DXC = \angle CYD = 90^{\circ} + XAE$ то есть $DXYC$ параллелограмм $DY=CX$.

$A’,B’$ диаметрально противоположные $A,B$.

Очевидно что $A’C||B’D$ =>> $BY||AX$ =>> $AY=CB$ ,$AD=XB$ и тк $\angle AYD=\angle ACB$ и $\angle ADB=\angle CXB$ отсюда $CX=DY$