Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год

Задача №1. Обозначим через

$\mathbb{Z}^+$ множество всех натуральных чисел. Определите все функции

$f : \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ такие, что

$a^2 + f(a)f(b)$ делится на

$f(a) + b$ для всех натуральных чисел

$a$ и

$b$ .
комментарий/решение(4)

Задача №2. Пусть

$m$ фиксированное натуральное число. Бесконечная последовательность

$\{a_n \}_{n \ge 1}$ определена следующим образом:

$a_1$ — натуральное число и для всех

$n \ge 1$ имеем

$a_{n+1} = \begin{cases} a_n^2 + 2^m & \text{ если } a_n < 2^m\\ a_n/2 & \text{ если } a_n \ge 2^m. \end{cases}$ Для каждого

$m$ , определите всевозможные значения

$a_1$ такие, что каждый член последовательности является целым числом.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$ABC$ — неравнобедренный треугольник,

$\Gamma$ — его описанная окружность, а

$M$ — середина стороны

$BC$ . Переменная точка

$P$ выбирается на отрезке

$AM$ . Описанные окружности треугольников

$BPM$ и

$CPM$ пересекают

$\Gamma$ вторично в точках

$D$ и

$E$ соответственно. Прямые

$DP$ и

$EP$ пересекают (вторично) описанные окружности треугольников

$CPM$ и

$BPM$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Докажите, что описанные окружности всевозможных треугольников

$AXY$ проходят через фиксированную точку

$T$ , отличную от

$A$ .
комментарий/решение(2)

Задача №4. Рассмотрим доску

$2018 \times 2019$ , у которой в каждой клетке записано целое число. Две клетки называются соседними если у них есть общая сторона. На каждом шаге вы выбираете некоторые клетки. Затем для каждой выбранной клетки высчитывается среднее арифметическое ее соседей. После того как все вычисления произведены, число в каждой выбранной клетке меняется на соответствующее среднее значение. Всегда ли возможно сделать числа во всех клетках одинаковыми после конечного количества шагов.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Определите все функции

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такие, что

$f(x^2 + f(y)) = f(f(x)) + f(y^2) + 2 f(xy)$ для всех действительных чисел

$x$ и

$y$ .
комментарий/решение(2)

результаты