Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2019 год
Комментарий/решение:
Заметим, что $\exists \, n, a_{n}<2^m$. Тогда определение возможных пар $(a_{1}, m)$ равнозначно нахождения всевозможных пар $(a_{i}, m), a_{i} < 2^m$ такие, что в последовательности $\{a_{n} \}$ все члены целые. Очевидно, что пара $(2,2)$ удовлетворяет условию задачи.
Пусть $a_{i} < 2^m$. Тогда рассмотрим последовательность $\{ b_{j} \}$, где $b_{k-i+1}$ наибольший нечетный делитель $a_{k}$. Заметим, что эта последовательность монотонно возрастающая. Это в самом деле так, так как операция деления на $2$ не уменьшает $b_{j}$, а если $b_{k}=p, a_{k+i-1}=2^sp \Rightarrow a_{k+i} = 2^{2s}p^2+2^m \Rightarrow b_{k+1} \in \{2^{2s-m}p^2+1, p^2+2^{m-2s}\} \Rightarrow b_{k+1} > b_{k}$. Тут мы использовали тот факт, что $a_{n}^2+2^m$ не степень двойки, что верно только для $m=2$. Значит $\exists \, k, b_{k} > 2^m \Rightarrow \exists \, n, a_{n} \notin \mathbb{N}$.
То есть единственная пара это $(2,2)$. А это означает, что так как были использована только операция деления попалам, то $a_{1}=2^k, \forall k \geq 1, m = 2$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.